Enunciado

Seja G a região sólida descrita no Exercício 2. Em cada parte, preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam nas integrais iteradas em coordenadas esféricas.

(a) O volume de G é

∭ G d V = ∫ ∫ ∫ _ _ _ _ _ _ _ _   d ρ d ∅ d θ

(b)

∭ G z x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ ∫ ∫ _ _ _ _ _ _ _ _   d ρ d ∅ d θ

Passo 1

Bora iniciar mais uma questão, galera!

A região sólida descrita no Exercício 2 é uma a região sólida dentro da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano z   =   1 ”. Isso nos indica que

r ≤ 2   e   z ≥ 1

E para resolver a questão vamos precisar lembrar que o cálculo do volume para coordenadas esféricas é dado por:

∭ G d V = ∭ G f ( ρ , θ , φ )   ρ 2 s e n ∅   d ρ d ∅ d θ

Passo 2

Letra (a) para uma esfera sempre o intervalo de θ é 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Com θ   fixado, temos que 0 ≤ ∅ ≤ π / 3

Considerando que:

z 2 = r f 2 + r i 2 → ρ c o s ∅ = ρ 2 ∅   + ρ 2 ∅  

ρ c o s ∅ = ρ s e n ∅   → ∅ = π / 3

Com θ e fixado, temos que 2 ≤ ρ ≤ s e c ∅

Considerando que:

z = ρ c o s ∅ = 1

ρ = 1 c o s ∅ = s e c ∅

Temos que:

∭ G d V = ∫ ∫ ∫ _ _ _ _ _ _ _ _   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ s e c ∅ 2 ρ 2 s e n ∅   d ρ d ∅ d θ

Passo 3

Letra (b) Considerando que:

r 2 = x 2 + y 2

z = ρ c o s ∅

Temos:

∭ G z x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ s e c ∅ 2 ρ c o s ∅ ( ρ s e n ∅ ) 2 + ( ρ c o s ∅ ) 2 ρ 2 s e n ∅   d ρ d ∅ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ s e c ∅ 2 ρ 3 c o s ∅ s e n ∅ ρ 2 [ ( s e n ∅ ) 2 + ( c o s ∅ ) 2 ]   d ρ d ∅ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ s e c ∅ 2 ρ c o s ∅ s e n ∅   d ρ d ∅ d θ

Passo 4

Resposta

a )   ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ s e c ∅ 2 ρ 2 s e n ∅   d ρ d ∅ d θ

b )   ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ s e c ∅ 2 ρ c o s ∅ s e n ∅   d ρ d ∅ d θ

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