Enunciado

Seja C o segmento de reta de (0, 2) até (0, 4). Determine, em cada parte, a integral de linha ao longo de C por inspeção e explique seu raciocínio.

Passo 1

Oba, mais uma questão bem simples, vamos lá resolvê-la?

O primeiro passo é montar as equações paramétricas, para isso vale lembrar que uma reta tem o modelo:

r(t) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b ,c) (1)

Onde, (x₀, y₀, z₀) é um ponto qualquer pertencente a reta que liga A e B e (a, b , c) é o vetor diretor

O vetor diretor pode ser encontrado por: AB = B -A, podemos considerar A(0,2) e B(0,4)

AB = (0,4) - (0,2) = (0i ,2j)

Agora nós vamos escolher um ponto, A ou B, tanto faz, pegando o B(0,4) e aplicando a equação (1) da reta obtida anteriormente, temos:

r(t) = (0, 4) + t(0, 2)

r(t) = (4+2t)j

Ou seja y(t) = 4+2t e a sua derivada dy = 2

Passo 2

Olhando para a integral dada, é perceptível que ainda precisamos de alguns valores

d s = d y 2 = 2 2 =   2   d t

Os limites de integração podem ser obtido substituindo na equação y(t) os valores que y varia, ou seja, ele vai de 2 para 4, assim temos:

2 = 4+2t → t = -1

4 = 4+2t → t = 0

Passo 3

Por fim, vamos substituir esses valores na integral

∫ 0 - 1 2   d t     = 2

Resposta

2

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