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Seja a k ,   k ≥ 0 , uma sequência de termos estritamente positivos tal que

lim k →   + ∞ ⁡ k 1 - a k + 1 a k = L , com L > 0.

(A) Prove que existe um natural m tal que ∑ k = 0 + ∞ a k m é convergente.

Passo 1

OLÁ, MEUS NOBRES GAFANHOTOS, Bora para mais do titio Guidorizzi?, para fazer essa prova utilizaremos o critério de Raabe, se você não sabe o que é isso, então dá uma olhada nos vídeos que o responde aí tem sobre o assunto e depois volta para cá, pronto? Então simbora!

Primeiramente, lembre-se de que 1 - x m = 1 - x 1 + x + x 2 +   …   + x m - 1 !

Vamos aplicar o critério de Raabe na série ∑ k = 0 + ∞ a k m :

lim k →   + ∞ ⁡ K 1 - a k + 1 a k m > 1

lim k →   + ∞ ⁡ K 1 - a k + 1 a k 1 + a k + 1 a k + a k + 1 a k 2 +   …   + a k + 1 a k m - 1 > 1

L   m > 1

m > 1 L   ,   L > 0

Logo, existe um número natural m tal que a série seja convergente.

Obs: Assumindo que lim k →   + ∞ ⁡ K 1 - a k + 1 a k m > 1   garantimos a convergência da série, após isso, basta provar a existência do m .

Resposta

Existe um m > 1 L   ,   L > 0   tal que lim k →   + ∞ ⁡ K 1 - a k + 1 a k m > 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro