12. Seja y = f(x), x ∈ I , uma solução da equação

y'' + p(x) y' + q(x) y = 0

Onde p(x) e q(x) são supostas contínuas no intervalo I . Prove que se f(x) se anular um número infinito de vezes num intervalo [a, b] contido em I , então f será identicamente nula em I .

SUGESTÃO: Verifique que existe x₀ em [a, b] tal que f(x₀) = f'(x₀) = 0 . Para obter x_0 construa uma sequência [a_n, b_n], n >= 1 de intervalos satisfazendo a propriedade dos intervalos encaixantes (Veja vol. 1) e tal que, para todo n , existam s_n e t_n , com f(s_n) = 0 e f(t_n) = 0 .

Passo 1

Poxa, lá vem o Guidorizzi nos dá mais questões de demonstração kkkk. Vamos fazer quem sabe ele nos deixa em paz, né?

Bem, sabemos que se provarmos que existe um ponto x 0 no intervalo I tal que as condições iniciais são nulas:

f x 0 = f ' x 0 = 0

Então, pelo teorema da Existência e unicidade, só podemos ter a solução nula, ou seja:

f x = 0 ,           p a r a       t o d o   x ∈ I

Certo? Então temos que provar que essa condição f x 0 = f ' x 0 = 0 acontece para algum x 0 ! Vamos lá?

Passo 2

A propriedade dos intervalos encaixantes nos diz que dentro do intervalo a ,   b , existem intervalos cada vez menores de modo que podemos encaixar os intervalos menores dessa forma:

a ,   b ⊃ a 1 ,   b 1 ⊃ a 2 ,   b 2 ⊃ a 3 ,   b 3 ⊃ … ⊃ a n ,   b n

Tipo boneca russa, sabe? Esse intervalo I n = a n ,   b n pode ser tão menor quanto se queira de forma que:

lim n → ∞ ⁡ I n = b n - a n = 0

Aí é que está o pulo do gato! Se f x anula infinitas vezes no intervalo a ,   b , vai existir para algum n ≥ 1 um intervalo a n ,   b n , tal que...

f a n = f b n = 0

Pelo teorema do valor intermediário, existe algum x 0 pertencente ao intervalo a n ,   b n tal que...

f ' x 0 = f b n - f a n b n - a n = 0

Como c ...

c ∈ a n ,   b n

E f se anula infinitas vezes, podemos encontrar algum a n ,   b n , tal que...

f a n = f b n = f x 0 = 0

Então pronto! Existe algum intervalo que:

f x 0 = f ' x 0 = 0

Logo, a solução só poderá ser a função nula!

Resposta

Questão de demonstração.

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