Seja X ⊂ N um subconjunto não vazio tal que m, n ∈ X ↔ m, m + n ∈ X. Prove que existe k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k .

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão seja X ⊂ N um subconjunto não vazio tal que m , n ∈ X ↔ m , m + n ∈ X . Prove que existe k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k .

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

Seja A ≠ ϕ subconjunto de N, com propriedade

n , m ∈ A ↔ m , m + n ∈ A  

Então existe t ∈ N tal que A = { t n | n ∈ N }

A é não vazio, então ele possui um elemento mínimo t . Primeiro vamos mostrar que B = { t n | n ∈ N ⊂ A .   t ∈ A , supondo t n ∈ A vamos mostrar que t n + 1 ∈ A . A propriedade vale pois t n + 1 = t n + t a adição é fechada em A.

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

Então existe t ∈ N tal que A = { t n | n ∈ N }