Enunciado

Seja V o volume do sólido limitado acima pelo hemisfério z = 1 - r ² e abaixo pelo disco compreendido pelo círculo r = sen ⁡ θ . Expressando como uma integral dupla em coordenadas polares, V = ___________.

Passo 1

Gente para resolver esta questão precisamos esboçar a região que este raio gera. Isto pode ser feito dando os valores para a variável θ a partir de zero até onde a figura começará a repetir. Segue o esboço da região procurada:

Passo 2

Mãos as obras! Note que a região esboçada foi gerada somente pelo o único raio, então teremos como intervalo para o raio o seguinte:

0 ≤ r ≤ sen ⁡ θ

Passo 3

Que legal, já estamos no final da questão! Observe que se decidirmos varrer a região esboçada, o raio descreverá a mesma curva em intervalo de

0 ≤ θ ≤ π

Assim, podemos escrever

V = ∬ R f r , θ d A = ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ θ 1 - r ²   r   d r   d θ = ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ θ r 1 - r ²   d r   d θ

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ θ r 1 - r ²   d r   d θ

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