Enunciado

25. Seja y = y1(t) uma solução de

y ' + p t y = 0

e seja y = y2(t) uma solução de

y ' + p t y = g ( t )

Mostre que y = y1(t) + y2(t) também é solução da Eq. (ii).

Passo 1

Quando começamos a estudar equações diferenciais aprendemos algumas coisas por exemplo, se o meu sistema admite duas soluções, por exemplo y 1   e y 2 . Logo nossa solução final será uma combinação linear das duas

y = c 1 y 1 + c 2 y 2  

Outra coisa importante é que quando começamos a estudar equações não homogêneas por exemplo

y ' + p t y = g ( t )

Nossa solução geral será uma combinação linear da Solução da Homogênea com a solução da Não-Homogênea.

Passo 2

Podemos até considerar a equação homogênea um caso particular da não-homogênea, visto que podemos fazer a seguinte manipulação

y ' + p t y = 0

E substituir nossa solução geral y 1

y ' = - p t y 1

Agora vamos aplicar na equação não-homogênea

y ' + p t y = g ( t )

- p t y 1 + p t y 1 = g ( t )

0 = g t

Logo y 1 também é solução da equação II, desde que g t = 0 . Por isso que consideramos que

y = c 1 y 1 + c 2 y 2  

Onde fazemos uma combinação linear de todas as soluções disponíveis. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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