5. Sejam y = f x e y = g x , x ∈ I soluções da equação y ' ' + p x y ' + q x y = 0 Onde p e q são supostas contínuas em I . Suponha que f ' x 0 = g ' x 0 = 0 e g x 0 ≠ 0 para algum x 0 ∈ I . Prove que existe um real α tal que para todo x ∈ I , f x = α g x .SUGESTÃO: Tome α tal que f x 0 = α g x 0 . Aplique o exemplo 2 à solução h x = f x - α g x .

5. Sejam e , soluções da equação

Onde e são supostas contínuas em . Suponha que e para algum . Prove que existe um real tal que para todo , .

SUGESTÃO: Tome tal que . Aplique o exemplo 2 à solução .

AFFF! Lá vem exercício de teoria, né? Mas não desista, você pode! Venha comigo, então...

Se é solução, e também é, sendo um número real, podemos falar que também é solução, de forma que:

POXA! Temos que provar que:

O que dá no mesmo que provar que:

Essa função é maravilhosa, pois independente do , ela é , bem como a sua derivada! Então, para , podemos afirmar que:

Por outro lado, se tomarmos...

Como... , então...

Se considerarmos que existe um tal que , então...

Então pronto! é de fato uma solução do nosso problema, e portanto existe algum que faça:

Questão de demonstração.