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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 10.7 - Ex. 1a

Sendo v = (d x)/(d t) determine a relação entre v e x .

a ) overset(¨)(x) = - x^3

Passo 1

Vamos lá galera! Nessa questão, temos uma mudança de variável junto com o conceito de variável dupla para redução de uma equação autônoma de ordem 2 a uma equação de ordem 1. A primeiro momento parece bem estranho, mas passo a passo fica fácil! Primeiro, temos que:

De:

v = (d x)/(d t)

Segue:

overset(¨)(x) = (d v)/(d t) = (d v)/(d x) (d x)/(d t)

Ou seja,

overset(¨)(x) = v (d v)/(d x)

Passo 2

Substituindo isso na nossa equação, temos:

v (d v)/(d x) = - x^3

Separando as variáveis, temos:

v d v = - x^3 d x

Passo 3

Agora, podemos integrar e obtermos os valores para k! Integrando os dois lado da eq, temos:

v d v = - x^3 d x

(v^2)/(2) + k = - (x^4)/(4) + k

Logo,

k = (v^2)/(2) + (x^4)/(4)

Resposta

k = (v^2)/(2) + (x^4)/(4)

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