Servir-se da identidade 1 + x 6 = 1 + x 2 1 - x 2 + x 4 e do teorema 3.16 para provar que, para a   >   0 , se tem

1 1 + a 6 a - a 3 3 + a 5 5 ≤ ∫ 0 a   d x 1 + x 2 ≤ a - a 3 3 + a 5 5

Tomar a = 1 10 e calcular o valor do integral até a sexta casa decimal.

Passo 1

Um bom primeiro passo pra resolver essa questão é começar pela interpretação. Bom, nós temos uma desigualdade com uma função que está sendo integrada, esse formato sugere que quando a integral da função é resolvida, teremos dois extremos, ou seja, podemos estabelecer a desigualdade analisando os valores máximo e mínimo a partir do Teorema do Valor Extremo para funções contínuas, esse é justamente o Teorema 3.16 que o comando cita!!

Passo 2

Desenvolvendo o Teorema, nós temos uma função f ( c ) contida em um intervalo fechado, tal que c ∈ [ a , b ] , além disso f ( c ) tem valores máximo (M) e mínimo (m), portanto:

m i n x ∈ [ a , b ] f ≤ f c ≤ m a x x ∈ a , b f             ( 1 )

Como a integral dada pelo enunciado é f c = ∫ 0 a   d x 1 + x 2 , é possível simplificar considerando g = 1 - x 2 - x 4 e f = 1 1 + x 6 com x ∈ [ 0   , a ] que são os limites de integração e sabendo que f c = ∫ a b f x g x   d x   ∫ a b g x   d x   , podemos adequar à relação (1) do Teorema, dessa forma:

m i n x ∈ a , b f ≤ ∫ a b f x g x   d x   ∫ a b g x   d x   ≤ m a x x ∈ a , b f

m i n x ∈ a , b f *   ∫ a b g x   d x   ≤ ∫ a b f x g x   d x   ≤ m a x x ∈ a , b f *   ∫ a b g x   d x  

Passo 3

E por fim, basta encontrarmos os valores. Já temos a equação de f x   e   g ( x ) e a integral de g x equivale a:

∫ 0 a 1 - x 2 - x 4 d x = ( x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 ) | 0 a = a - a 3 3 + a 5 5

Substituindo, temos:

m i n x ∈ a , b f * a - a 3 3 + a 5 5 ≤ ∫ 0 a   1 - x 2 - x 4 d x ≤ m a x x ∈ a , b f *   a - a 3 3 + a 5 5

Beleza beleza, mas qual é o valor máximo e mínimo? Concorda que se nós queremos a desigualdade do comando, então, o valor máximo tem que ser 1 e o mínimo 1 1 + a 6 ? Logo

1 1 + a 6 * a - a 3 3 + a 5 5 ≤ ∫ 0 a   1 - x 2 - x 4 d x ≤   a - a 3 3 + a 5 5

Passo 4

E por fim, o enunciado diz para considerarmos a = 1 10 , substituindo na integral de g(x) obtida no passo 3, considerando 6 casas decimais, temos:

∫ 0 a 1 - x 2 - x 4 d x = a - a 3 3 + a 5 5 = 1 10 - 1 3 1 10 3 + 1 5 1 10 5 = 0,099669

E o próximo passo é... brincadeira, acabamos rapidão né?

Resposta

0,099669