Servir-se da identidade e do teorema 3.16 para provar que, para , se tem
Tomar e calcular o valor do integral até a sexta casa decimal.
Passo 1
Um bom primeiro passo pra resolver essa questão é começar pela interpretação. Bom, nós temos uma desigualdade com uma função que está sendo integrada, esse formato sugere que quando a integral da função é resolvida, teremos dois extremos, ou seja, podemos estabelecer a desigualdade analisando os valores máximo e mínimo a partir do Teorema do Valor Extremo para funções contínuas, esse é justamente o Teorema 3.16 que o comando cita!!
Passo 2
Desenvolvendo o Teorema, nós temos uma função contida em um intervalo fechado, tal que , além disso tem valores máximo (M) e mínimo (m), portanto:
Como a integral dada pelo enunciado é , é possível simplificar considerando e com que são os limites de integração e sabendo que , podemos adequar à relação (1) do Teorema, dessa forma:
Passo 3
E por fim, basta encontrarmos os valores. Já temos a equação de e a integral de equivale a:
Substituindo, temos:
Beleza beleza, mas qual é o valor máximo e mínimo? Concorda que se nós queremos a desigualdade do comando, então, o valor máximo tem que ser e o mínimo ? Logo
Passo 4
E por fim, o enunciado diz para considerarmos , substituindo na integral de g(x) obtida no passo 3, considerando 6 casas decimais, temos:
E o próximo passo é... brincadeira, acabamos rapidão né?