Para o sistema autônomo plano linear dado

a) ache a solução geral e determine se há soluções periódicas.

b) ache a solução que satisfaz a condição inicial dada, e

c) com auxílio de uma calculadora gráfica ou de um programa para traçado de gráficos, esboce a solução parte (b) e indique a direção em que a curva que é cortada.

x' = x + y

y' = -2x - y , X(0) = (-2,2)

Passo 1

Nesta questão ele pede o plano linear do sistema dado, sabendo que,

x ' = x + y

y ' = - 2 x - y , X 0 = ( - 2,2 )

Passo 2

Sabendo que,

x ' = x + y

y ' = - 2 x - y , X 0 = ( - 2,2 )

Utilizando o plano do sistema autônomo

d x d t = P ( x , y )

d y d t = Q ( x , y ) , vamos ter que

x = c 1 ( 2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t ) + c 2 ( 2 cos ⁡ t + 2 sin ⁡ 2 t )

y = c 1 ( - cos ⁡ 2 t ) - c 2 sin ⁡ 2 t

Resposta

x = c 1 ( 2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t ) + c 2 ( 2 cos ⁡ t + 2 sin ⁡ 2 t )

y = c 1 ( - cos ⁡ 2 t ) - c 2 sin ⁡ 2 t