Uma solução de ácido nítrico flui a uma vazão constante de
6 L/min em um grande tanque que mantinha de início 200 L
de uma solução de ácido nítrico a 0,5%. A solução é mantida
bem agitada e sai a uma vazão de 8 L/min. Se a solução
entrando no tanque é de 20% de ácido nítrico, determine
o volume do ácido após t min. Quando a porcentagem de
ácido nítrico no tanque alcançará 10%?
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Seja x(t) o volume de ácido nítrico no tanque no instante t. O tanque continha inicialmente 200 L de uma solução de ácido nítrico a 0,5%; portanto, x(0) = 200 × 0,005 = 1. Como 6 L de 20% nítrico solução ácida estão fluindo para o tanque por minuto, a taxa na qual o ácido nítrico está entrando é 6 × 0,2 = 1,2 L/min. Como a vazão do tanque é de 8 L/min e a vazão
de fluxo de entrada é de apenas 6 L/min, há uma perda líquida no tanque de 2 L de solução a cada minuto. Assim, em qualquer instante t, o tanque conterá 200 − 2t litros de solução. Combinando isso com o fato de que o volume de ácido nítrico no tanque no instante t é x(t), vemos que o concentração de ácido nítrico no tanque no instante t é x(t)/(200 − 2t). Aqui estamos assumindo que o tanque é mantido bem agitado. A taxa na qual o ácido nítrico flui para fora do tanque é, portanto, 8 × [x(t)/(200 − 2t)] L/min. De todos esses fatos, vemos que:
taxa de entrada = 1,2 L/min, taxa de saída = 8x(t)/ 200 - 2t L/min
Passo 2
Sabemos que
Assim, devemos resolver a equação diferencial
Esta é a equação linear
Um fator de integração para esta equação tem a forma

Multiplicando a equação linear pelo fator de integração produz

Para encontrar o valor de C, usamos a condição inicial x(0) = 1. Portanto,
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Isso significa que no instante t existe
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litros de ácido nítrico no tanque. Quando a porcentagem de ácido nítrico no tanque é de 10%, a concentração de ácido nítrico é 0,1. Assim, queremos resolver a equação
Portanto, dividimos a solução x(t) que encontramos acima por 2(100 − t) e resolvemos para t. Este é, resolvemos