Uma solução de ácido nítrico flui a uma vazão constante de

6 L/min em um grande tanque que mantinha de início 200 L

de uma solução de ácido nítrico a 0,5%. A solução é mantida

bem agitada e sai a uma vazão de 8 L/min. Se a solução

entrando no tanque é de 20% de ácido nítrico, determine

o volume do ácido após t min. Quando a porcentagem de

ácido nítrico no tanque alcançará 10%?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja x(t) o volume de ácido nítrico no tanque no instante t. O tanque continha inicialmente 200 L de uma solução de ácido nítrico a 0,5%; portanto, x(0) = 200 × 0,005 = 1. Como 6 L de 20% nítrico solução ácida estão fluindo para o tanque por minuto, a taxa na qual o ácido nítrico está entrando é 6 × 0,2 = 1,2 L/min. Como a vazão do tanque é de 8 L/min e a vazão

de fluxo de entrada é de apenas 6 L/min, há uma perda líquida no tanque de 2 L de solução a cada minuto. Assim, em qualquer instante t, o tanque conterá 200 − 2t litros de solução. Combinando isso com o fato de que o volume de ácido nítrico no tanque no instante t é x(t), vemos que o concentração de ácido nítrico no tanque no instante t é x(t)/(200 − 2t). Aqui estamos assumindo que o tanque é mantido bem agitado. A taxa na qual o ácido nítrico flui para fora do tanque é, portanto, 8 × [x(t)/(200 − 2t)] L/min. De todos esses fatos, vemos que:

taxa de entrada = 1,2 L/min, taxa de saída = 8x(t)/ 200 - 2t L/min

Passo 2

Sabemos que

d x d t   =   t a x a   d e   e n t r a d a   -   t a x a   d e   s a í d a

Assim, devemos resolver a equação diferencial

d x d t   =   1.2   -   4 x ( t ) 100 - t ,   x ( 0 )   =   1

Esta é a equação linear

d x d t + 4 100 - t x   =   1.2 ,   x ( 0 )   =   1

Um fator de integração para esta equação tem a forma

Multiplicando a equação linear pelo fator de integração produz

Para encontrar o valor de C, usamos a condição inicial x(0) = 1. Portanto,

Isso significa que no instante t existe

litros de ácido nítrico no tanque. Quando a porcentagem de ácido nítrico no tanque é de 10%, a concentração de ácido nítrico é 0,1. Assim, queremos resolver a equação

x ( t ) 200 - 2 t   =   0.1

Portanto, dividimos a solução x(t) que encontramos acima por 2(100 − t) e resolvemos para t. Este é, resolvemos

Resposta

t   ≈   19.96   m i n