Uma solução de salmoura flui a uma vazão constante de 4
L/min para um tanque grande que inicialmente mantinha
100 L de água pura. A solução no tanque é mantida bem
agitada e sai a uma vazão de 3 L/min. Se a concentração de
sal na salmoura entrando no tanque é de 0,2 kg/L, determine
a massa do sal após t minutos. Quando essa concentração de
sal atingirá 0,1 kg/L?
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Seja y(t) a quantidade (a massa) de sal no recipiente após t minutos. Então, seu tempo de mudança y', é a diferença entre sua taxa de entrada e saída (lei de equilíbrio). Uma vez que 4L de água salgada estão no recipiente por minuto, contendo 0,2kg de sal por litro, a taxa de entrada necessária é
O volume da solução no recipiente em qualquer momento t é
uma vez que o tanque contém inicialmente 100 L de água e água salgada é bombeada para o topo do tanque a uma taxa de 4 L/min, enquanto a solução bem misturada sai do tanque a uma taxa de 3 L/min.(Isto significa que temos uma nova ninhada da solução no tanque a cada minuto). Podemos determinar a concentração do sal no tanque dividindo a quantidade de sal y(t) pelo volume da solução v(t) em qualquer instante t. Por isso,
Agora, a vazão é de 3L da mistura em um minuto. Isso é (3/100 + t) do teor total da mistura no recipiente, portanto (3/100 + t) do teor de sal y(t), ou seja
Inicialmente, o tanque continha 100L de água limpa. Portanto, a concentração de sal no início era 0 e obtemos a condição inicial
assim, o modelo matemático para este problema é
Passo 2
Essa é uma EDO linear. Nesse caso,
então, um fator de integração é
e a solução geral é dada por
agora, podemos usar a condição inicial para determinar o valor numérico de c, Substitua 0 por t e 0 por y na última equação
por isso,
é a massa de sal no tanque após t minutos.
Passo 3
Queremos encontrar o momento em que a concentração de sal no tanque atinge 0,1kg/L. Portanto, precisamos resolver
para t.
Portanto, precisamos resolver,
para t.
o que significa que a solução atingirá a concentração dada em cerca de 19min.