Uma solução de salmoura flui a uma vazão constante de 4

L/min para um tanque grande que inicialmente mantinha

100 L de água pura. A solução no tanque é mantida bem

agitada e sai a uma vazão de 3 L/min. Se a concentração de

sal na salmoura entrando no tanque é de 0,2 kg/L, determine

a massa do sal após t minutos. Quando essa concentração de

sal atingirá 0,1 kg/L?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja y(t) a quantidade (a massa) de sal no recipiente após t minutos. Então, seu tempo de mudança y', é a diferença entre sua taxa de entrada e saída (lei de equilíbrio). Uma vez que 4L de água salgada estão no recipiente por minuto, contendo 0,2kg de sal por litro, a taxa de entrada necessária é

4 ∙ 0.2   =   0.8

O volume da solução no recipiente em qualquer momento t é

v ( t )   =   100   +   ( 4 - 3 ) t   =   100   +   t

uma vez que o tanque contém inicialmente 100 L de água e água salgada é bombeada para o topo do tanque a uma taxa de 4 L/min, enquanto a solução bem misturada sai do tanque a uma taxa de 3 L/min.(Isto significa que temos uma nova ninhada da solução no tanque a cada minuto). Podemos determinar a concentração do sal no tanque dividindo a quantidade de sal y(t) pelo volume da solução v(t) em qualquer instante t. Por isso,

c ( t )   = y ( t ) v ( t )   =   y ( t ) 100 + t

Agora, a vazão é de 3L da mistura em um minuto. Isso é (3/100 + t) do teor total da mistura no recipiente, portanto (3/100 + t) do teor de sal y(t), ou seja

3 y ( t ) 100 + t

Inicialmente, o tanque continha 100L de água limpa. Portanto, a concentração de sal no início era 0 e obtemos a condição inicial

y ( 0 )   =   0

assim, o modelo matemático para este problema é

y ' ( t )   =   0.8   -   3 y ( t ) 100 + t ,   y ( 0 )   =   0

Passo 2

Essa é uma EDO linear. Nesse caso,

P ( t )   =   3 100   +   t ,   Q ( t )   =   0.8

h   =   ∫ P   d t   =   3 ∫ d t 100 + t =   l n ( 100 + t ) ³

então, um fator de integração é

e h   =   e l n ( 100 + t ) ³   =   ( 100 + t ) ³

e a solução geral é dada por

y ( t )   =   e - h ( c   +   ∫ Q e h d t )

= ( 100 + t ) ⁻ ³ ( c   +   ∫ 0.8 ( 100 + t ) ³ d t )

= c ( 100 + t ) ⁻ ³ + 0.8 ( 100 + t ) ⁻ ³ ( 100 + t ) ⁴ 4

= c ( 100 + t ) ³ + 0.8 4 ( 100 + t ) ⁻ ³ ( 100 + t ) ⁴

= c ( 100 + t ) ³ + 0.2 ( 100 + t )

agora, podemos usar a condição inicial para determinar o valor numérico de c, Substitua 0 por t e 0 por y na última equação

0   =   y ( 0 )   =   c ( 100 + 0 ) ³   +   0.2 ( 100 + 0 )   ⇒   0   = c 100 ³   + 20

⇒ - 20   =   c ∙ 10 ⁻ ⁶

⇒   c   =   - 20 ∙ 10 ⁶

⇒   c   =   - 2 ∙ 10 ⁷

por isso,

y ( t )   =   - 2 ∙ 10 ⁷ ( 100 + t ) ³ + 0.2 ( 100 + t )

é a massa de sal no tanque após t minutos.

Passo 3

Queremos encontrar o momento em que a concentração de sal no tanque atinge 0,1kg/L. Portanto, precisamos resolver

c ( t )   =   0.1

para t.

Portanto, precisamos resolver,

y ( t ) v ( t )   =   0.2 ( 100 + t ) - 2 ∙ 10 ⁷ ( 100 + t ) ³ 100 + t   =   0.1

para t.

0.2 - 2 ∙ 10 ⁷ ( 100 + t ) ⁴   =   0.1

2 ∙ 10 ⁷ ( 100 + t ) ⁴ = 0.1

( 100 + t ) ⁴   =   2 ∙ 10 ⁷ 0.1

t   +   100   =   118.92

t   =   18.92   m i n

o que significa que a solução atingirá a concentração dada em cerca de 19min.

Resposta

y ( t )   =   - 2 ∙ 10 ⁷ ( 100 + t ) ³ + 0 . ( 100 + t )

t   ≈   19   m i n