Uma solução de salmoura flui a uma vazão constante de 6

L/min para um tanque grande que inicialmente mantinha 50

L de solução em que foi dissolvido 0,5 kg de sal. A solução

dentro do tanque é mantida bem agitada e sai do tanque na

mesma velocidade. Se a concentração de sal na salmoura que

entra no tanque é de 0,05 kg/L, determine a massa do sal após

t minutos. Quando essa concentração atingirá 0,03 kg/L?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A taxa de variação ​​=taxa de entrada-taxa de saída

d x ( t ) d t   =   ( 6 ) ( 0.05 ) - ( 6 ) ( x 50 )

d x ( t ) d t = 0.3 - 0.12 x ( t )

então agora temos,

d x d t   =   0.3 - 0.12 x ( 1 )

d x d t + 0.12 x   =   0.3

esta é uma equação linear, tem um fator de integração, onde,

P ( t )   =   0.12   →   ∫ P ( t )   d t   =   ∫ 0.12   d t   =   0.12 t

μ ( t )   =   e ∫ P ( t )   d t   =   e ∫ 0.12   d t = e 0.12 t

multiplicando (1) por μ ( t ) ,

e 0.12 t d x d t + 0.12 e 0.12 t   =   0.3 e 0.12 t

d d t [ e 0.12 t x ]   =   0.3 e 0.12 t

integrando os dois lados,

∫ d d t [ e 0.12 t x ] d t   =   ∫ 0.3 e 0.12 t d t

e 0.08 t x   =   2.5 e 0.12 t +   C

x ( t )   =   2.5   +   C e - 0.12 t

aplicando a condição de valor inicial, x(0)=0,5, para obter o valor de C,

0.5   = 2.5   +   C e ⁰

C   =   - 2

então temos que

x ( t )   = 2.5   -   2 e - 0.12 t

Passo 2

Determinar quando a concentração de sal no tanque atingirá 0,02 kg, primeiro precisamos obter a massa do sal, onde,

m a s s a   =   c o n c e n t r a ç ã o   X   v o l u m e

= ( 0.03 ) ( 50 )   =   1.5   k g

1.5   =   2.5   -   2 e - 0.12 t

- 1   =   - 2 e - 0.12 t

1 2 = e - 0.12 t

l n   | 1 2 |   =   - 0.12 t

t   =   l n   | 1 / 2 | - 0.12

t   ≈   5.78   m i n

Resposta

x ( t )   =   2.5   - 2 e - 0.12 t

t   ≈   5.78   m i n