Uma solução de salmoura flui a uma vazão constante de 8

L/min para um tanque grande que no início mantinha 100

L de solução em que foi dissolvido 0,5 kg de sal. A solução

dentro do tanque é mantida bem agitada e sai na mesma

vazão. Se a concentração de sal na salmoura que entra é de

0,05 kg/L, determine a massa do sal no tanque após t minu

tos. Quando essa concentração atingirá 0,02 kg/L?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A taxa de variação ​​=taxa de entrada-taxa de saída

d x ( t ) d t   =   ( 8 ) ( 0.05 ) - ( 8 ) ( x 100 )

d x ( t ) d t = 0.4 - 0.08 x ( t )

então agora temos,

d x d t   =   0.4 - 0.08 x ( 1 )

d x d t + 0.08 x   =   0.4

esta é uma equação linear, tem um fator de integração, onde,

P ( t )   =   0.08   →   ∫ P ( t )   d t   =   ∫ 0.08   d t   =   0.08 t

μ ( t )   =   e ∫ P ( t )   d t   =   e ∫ 0.08   d t = e 0.08 t

multiplicando (1) por μ ( t ) ,

e 0.08 t d x d t + 0.08 e 0.08 t   =   0.4 e 0.08 t

d d t [ e 0.08 t x ]   =   0.4 e 0.08 t

integrando os dois lados,

∫ d d t [ e 0.08 t x ] d t   =   ∫ 0.4 e 0.08 t d t

e 0.08 t x   =   5 e 0.08 t +   C

x ( t )   =   5   +   C e - 0.08 t

aplicando a condição de valor inicial, x(0)=0,5, para obter o valor de C,

0.5   =   5   +   C e ⁰

C   =   - 4.5

entao temos que

x ( t )   =   5   -   4.5 e - 0.08 t

Passo 2

Determinar quando a concentração de sal no tanque atingirá 0,02 kg, primeiro precisamos obter a massa do sal, onde,

m a s s a   =   c o n c e n t r a ç ã o   X   v o l u m e

= ( 0.02 ) ( 100 )   =   2   k g

2   =   5   -   4.5 e - 0.08 t

- 3   =   - 4.5 e - 0.08 t

2 3 = e - 0.08 t

l n   | 2 3 |   =   - 0.08 t

t   =   l n   | 2 / 3 | - 0.08

t   ≈   5.07   m i n

Resposta

x ( t )   =   5   - 4.5 e - 0.08 t

t   ≈   5.07   m i n