Soluções que não podem ser expressas em termos de

funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo,

certas primitivas (antiderivadas) como ∫ ex2dx não podem

ser expressas em termos finitos usando funções elementa-

res. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve

a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais

indefinidas (integrais com limite superior variável). Por

exemplo, considere o problema de valor inicia

A equação diferencial separa se dividirmos por y2 e multiplicar-

mos por dx. Integramos a equação de separação de x = 2 para

x = x1 e encontramos

Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por

x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema

de valor inicial por

Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita

para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. d y d x = e x ²
  2. Configure as integrais para resolver y(x) por meio da separação de variáveis. Como ∫ e x ²   d x não pode ser integrado, reescreva a integral de modo que os limites sejam limitados por y(0)=0.

    y ( 0 )   =   0

    d y   =   e x ²   d x

    ∫   d y   =   ∫ e x ²   d x

    ∫ 0 x 1   d y   =   ∫ 0 x 1 e x ²   d x

    Resolva para y(x1).

    y | x   =   x 1 ;   x = 0  

    ∫ 0 x 1 e x ² d x

    y ( x 1 ) - y ( 0 )   =   ∫ 0 x 1 e x ² d x

    y ( x 1 )   -   =   ∫ 0 x 1 e x ² d x

    y ( x 1 )   =   ∫ 0 x 1 e x ²   d x

    y ( x )   =   ∫ 0 x e t ²   d t

    Resolva a solução geral de y(x) substituindo x 1 ​ por x, y(0) por 0 e x por t

    Passo 2

  3. Configure as integrais para resolver y(x) por meio da separação de variáveis. Como ∫ e x ²   d x não pode ser integrado, reescreva a integral de modo que os limites sejam limitados por y(0)=1.
  4. d y d x = e x ² y ⁻ ²

    y ( 0 )   =   1

    y ²   d y   =   e x ² d x

    ∫ y ²   d y   =   ∫ e x ² d x

    ∫ 0 x 1 y ²   d y   =   ∫ 0 x 1 e x ² d x

    1 3 y ³ | x = 0 ,   x = x 1   =   ∫ 0 x 1 e x ² d x

    1 3 y ³ ( x 1 )   -   1 3 y ³ ( 0 )   =   ∫ 0 x 1 e x ²   d x

    1 3 y ³ ( x 1 )   -   1 3 ( 1 )   =   ∫ 0 x 1 e x ²   d x

    y ³ ( x 1 )   -   1   =   3 ∫ 0 x 1 e x ² d x

    y ( x 1 )   =   ( 1 + 3 ∫ 0 x 1 e x ²   d x ) 1 / 3

    Resolva a solução geral de y(x) substituindo x 1 por x, y(0) por 1 e x por t

    Passo 3

  5. d y d x = 1 + s i n   x ( 1 + y ² )
  6. y ( 0 )   =   1

    Configure as integrais para resolver y(x) por meio da separação de variáveis.Como ∫ e x ² d x não pode ser integrado, reescreva a integral de modo que os limites sejam limitados por y(0)=1.

    d y 1 + y ² = 1 + s i n   x d x

    ∫ 0 x 1 1 1 + y ² d y   =   ∫ 0 x 1 1 + s i n   x   d x

    Resolva a integral ∫ 1 1 + y ² d y por meio de integração básica.

    ∫ 1 1 + y ²   d y

    u   =   t a n ²   θ

    d u   =   s e c ²   θ

    ∫ s e c ²   θ s e c ²   θ d θ

    ∫ d θ   =   θ

    ∫ 1 1 + y ² d y   =   t a n ⁻ ¹   y

    resolvendo para y ( x 1 )

    t a n ⁻ ¹   y   |   x   =   x 1 ;   x = 0 |   =   ∫ 0 x 1 1 + s i n   x   d x  

    t a n ⁻ ¹   y ( x 1 )   -   t a n ⁻ ¹ ( 1 )   =   ∫ 0 x 1 1 + s i n   x   d x

    t a n ⁻ ¹   y ( x 1 )   =   π 4 + ∫ 0 x 1 1 + s i n   x   d x

    y ( x 1 )   =   t a n   ( π 4 + ∫ 0 x 1 1   +   s i n   x   d x )

    Resolva a solução geral de y(x) substituindo x 1 ​ por x, y(0) por 1 e x por t

    Passo 4

  7. y ( x )   =   ( 1 + 3 ∫ 0 x e t ²   d t ) 1 / 3

x   =   0.5

Para referência, calcule a solução geral de y(x) dada a integral definida [0,0.5] por meio de uma calculadora.

y ( x )   =   ( 1 + 3 ∫ 0 0.5 e t ²   d t ) 1 / 3   ≈   1.38121

usando a regra de Simpson.

Δ x   =   0.5 - 0 2 n

Teste alguns casos para inteiros pares para nnn encontrando primeiro Δx para cada valor n seleccionado.

se n   =   2   →   Δ x   =   1 / 8

teremos 4 subintervalos: [ 0,1 / 8 ] ,   [ 1 / 8,2 / 8 ] ,   [ 2 / 8,3 / 8 ] , [ 3 / 8,4 / 8 ]

se n   =   4   →   Δ x   =   1 / 12

teremos 6 subintervalos: [0,1/12], [1/12, 2/12], [2/12, 3/12], [3/12, 4/12], [4/12, 5/12], [5/12, 6/12]

se n = 6 →   Δ x   =   1 / 16

teremos 8 subintervalos: [0, 1/16], [1/16, 2/16], [2/16, 3/16], [3/16, 4/16], [4/16, 5/16], [5/16, 6/16], [6/16, 7/16], [7/16 8/16]

se n   =   8   →   Δ x   =   1 / 20

teremos 8 subintervalos: [0, 1/20], [1/20, 2/20], [2/10, 3/20], [3/20, 4/20], [4/20, 5/20], [5/20, 6/20] , [6/20, 7/20], [7/20, 8/20], [8/20, 9/20], [7/20, 8/20], [8/20, 9/20], [9/20, 10/20]

Calcule o valor de y(x) para cada valor n dado. Encontre o valor da aproximação até três casas decimais.

Para n=2, usando a Regra de Simpson, a integral é aproximada com.

∫ 0 0.5 e x ² d x   =   1 24 ( e 0 + 4 e ( 0.125 ) ² + 2 e ( 0.25 ) ² + 4 e ( 0.375 ) ² + e ( 0.5 ) ² )   ≈   0.544999003

Substituindo este resultado na solução em b) obtemos

y ( 0.5 )   ≈   1.38121

Repetindo o procedimento para n=4,6,8 obtemos os seguintes resultados:

n   =   6 :   y ( 0.5 )   ≈   1.38120606

n   =   8 :   y ( 0.5 )   ≈   1.38120520

n   =   10 :   y ( 0.5 )   ≈   1.38120497

de onde obtemos y(0,5)≈1,381

Resposta

  1. y ( x )   =   ∫ 0 x e t ²   d t
  2. y ( x )   =   ( 1 + 3 ∫ 0 x e t ²   d t ) 1 / 3
  3. y ( x )   =   t a n   ( π 4   +   ∫ 0 x 1 + s i n   t   d t )
  4. y ( 0.5 )   ≈   1.381