Soluções que não podem ser expressas em termos de
funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo,
certas primitivas (antiderivadas) como ∫ ex2dx não podem
ser expressas em termos finitos usando funções elementa-
res. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve
a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais
indefinidas (integrais com limite superior variável). Por
exemplo, considere o problema de valor inicia
A equação diferencial separa se dividirmos por y2 e multiplicar-
mos por dx. Integramos a equação de separação de x = 2 para
x = x1 e encontramos
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por
x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema
de valor inicial por
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita
para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c)
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
- Configure as integrais para resolver y(x) por meio da separação de variáveis. Como não pode ser integrado, reescreva a integral de modo que os limites sejam limitados por y(0)=1.
Configure as integrais para resolver y(x) por meio da separação de variáveis. Como não pode ser integrado, reescreva a integral de modo que os limites sejam limitados por y(0)=0.
Resolva para y(x1).
Resolva a solução geral de y(x) substituindo por x, y(0) por 0 e x por t
Passo 2
Resolva a solução geral de y(x) substituindo por x, y(0) por 1 e x por t
Passo 3
Configure as integrais para resolver y(x) por meio da separação de variáveis.Como não pode ser integrado, reescreva a integral de modo que os limites sejam limitados por y(0)=1.
Resolva a integral por meio de integração básica.
resolvendo para
Resolva a solução geral de y(x) substituindo por x, y(0) por 1 e x por t
Passo 4
Para referência, calcule a solução geral de y(x) dada a integral definida [0,0.5] por meio de uma calculadora.
usando a regra de Simpson.
Teste alguns casos para inteiros pares para nnn encontrando primeiro Δx para cada valor n seleccionado.
se
teremos 4 subintervalos:
se
teremos 6 subintervalos: [0,1/12], [1/12, 2/12], [2/12, 3/12], [3/12, 4/12], [4/12, 5/12], [5/12, 6/12]
se n = 6
teremos 8 subintervalos: [0, 1/16], [1/16, 2/16], [2/16, 3/16], [3/16, 4/16], [4/16, 5/16], [5/16, 6/16], [6/16, 7/16], [7/16 8/16]
se
teremos 8 subintervalos: [0, 1/20], [1/20, 2/20], [2/10, 3/20], [3/20, 4/20], [4/20, 5/20], [5/20, 6/20] , [6/20, 7/20], [7/20, 8/20], [8/20, 9/20], [7/20, 8/20], [8/20, 9/20], [9/20, 10/20]
Calcule o valor de y(x) para cada valor n dado. Encontre o valor da aproximação até três casas decimais.
Para n=2, usando a Regra de Simpson, a integral é aproximada com.
Substituindo este resultado na solução em b) obtemos
Repetindo o procedimento para n=4,6,8 obtemos os seguintes resultados:
de onde obtemos y(0,5)≈1,381