Enunciado

Se ∑ n = 1 + ∞ a n for uma série absolutamente convergente, prove que a série de potências ∑ n = 1 + ∞ a n x n será absolutamente convergente x ≤ 1

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Bem para essa questão vamos ter de utilizar o teorema se a série de potências ∑ n = 0 + ∞ c n x n se ela for convergente para x = x 1 x 1 ≠ 0 , então ela será absolutamente convergente para todos de x para os quais x < x 1 .

Bora lá pra questão

Passo 2

Se x ≤ 1 , quando a n x n ≤ a n , portanto podemos afirmar que é então

∑ n = 1 + ∞ a n x n

e é convergente pela comparação

∑ n = 1 + ∞ a n

Onde que pelo teorema l i m n → ∞ a n = 0

Portanto a série é absolutamente convergente para qualquer valor de   x .

E é isso galera até a próxima ☺

Resposta

Provado

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