Si x, y ∈ R^n son no nulos, el angulo entre x e y, indicado por ∠(x, y) se define como arccos(⟨x, y⟩ / (|x| * |y|)) que tiene sentido en virtude del teorema 1-1(2). La aplicación lineal T se dice que conserva los ángulos si T é 1-1, y para x, y ≠ 0 se tiene ∠(T_x, T_y) = ∠(x, y)

  1. Probar que si T conserva la soma, T conserva los angulos
  2. Si existe una base x₁, ..., xₙ d R^n y numero λ₁, …, λₙ tales que Txi = λi * xi probar que T conserva los angulos si e solo si todas λ_i son iguales.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Se T preserva a norma, então preserva o produto. Assim, para x , y ≠ 0 ,

∠ T x , T y = arccos ⁡ T x i , T y i | T x i | * T y i = arccos ⁡ x i , y i | x i | * y i = ∠ ( x , y )

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para b)

Primeiro supomos que T preserva o ângulo e desde que ( x 1 , … , x n )   seja uma base x i são não nulos. Logo:

∠ T , x i , T x j = arccos ⁡ T x i , T x j | T x i | * T x j

Dado que T x i = λ i x i

∠ T , x i , T x j = arccos ⁡ λ i x i , λ j x j | λ i x i | * λ j x j

Fatorando:

∠ T , x i , T x j = arccos ⁡ λ i   λ j x i , x j λ i * λ j * | x i | * x j

∴ ∠ T , x i , T x j = ∠ x i , x j  

Impomos que λ i λ j = λ i * λ j . então λ i e λ j têm os mesmos sinais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)