Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Inicialmente há 2 kg da substância e dois dias depois, 3 kg. Determine (a) a quantidade após um dia e (b) a quantidade após dez dias.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, então temos:

d m d t = k m

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a função que nos permitirá encontrar a massa no tempo.

Depois nos restará aplicar a quantidade de dias na função para encontrarmos a quantidade em kg.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 m d m = k d t

∫ 1 N d m = k ∫ d t

l n m + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ m + c = e k t

m e c = e k t

m = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

m = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , m = 2 .

2 = c e 0

c = 2

Em t = 2 , m = 3 .

3 = c e 2 k

3 = 2 e 2 k

1,5 = e 2 k

ln ⁡ 1,5 = 2 k

k = 1 2 ln ⁡ 1,5

k = 0,2027

Portanto, a nossa função m ( t ) é:

m t = 2 e 0,2027 t

Passo 3

Como dito no passo 1, agora aplicamos o número de dias na função que definimos acima e achamos a massa.

m = 2 e 0,2027 ( 1 )

m = 2,45   k g

Passo 4

Aqui, fazemos a mesma coisa que no passo 3, apenas aplicamos 10 dias ao invés de 1.

m = 2 e 0,2027 ( 10 )

m = 15,18   k g

Resposta

  1. m = 2,45   k g
  2. m = 15,18   k g