Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Se a quantidade original duplica em um dia, qual será a quantidade existente em cinco dias? Dica: Denomine a quantidade inicial como sendo N₀ . Não é necessário determinar N₀ explicitamente.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, então temos:

d V d t = k V

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 V d V = k d t

∫ 1 V d V = k ∫ d t

l n V + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ V + c = e k t

V e c = e k t

V = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

V = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , V = V 0

V 0 = c e 0

c = V 0

Em t = 1 , V = 2 V 0

2 V 0 = c e k

2 V 0 = V 0 e k

ln ⁡ 2 = k

k = 0,693

Pronto!! Já temos a função que vamos aplicar os dias.

V t = V 0 e 0,693 t

Passo 3

Aplicando os 5 dias.

V t = V 0 e 0,693 5

V t = 32 V 0

Resposta

V t = 32 V 0