Supõe-se que a altura f(t) de um projétil, t segundos depois de ter sido lançado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial v0 pés/seg, é definida por

f(t) = V0.t - 16.t^2

e) Provar que o projétil se move com aceleração constante.

Passo 1

Nessa parte da questão temos que usar as noções de derivada para o cálculo da velocidade e da aceleração.

Basicamente, nós temos a seguinte relação:

- Derivando, em função de dt, obtemos:

D e s l o c a m e n t o → V e l o c i d a d e → A c e l e r a ç ã o

- Integrando, em função de dt, obtemos:

A c e l e r a ç ã o → V e l o c i d a d e → D e s l o c a m e n t o

Ou seja, se derivarmos, em função do tempo, a expressão do deslocamento, obteremos a expressão da velocidade instantânea (e isso já foi obtido utilizando a definição de derivada por limite, na letra a). Em seguida, se derivarmos a velocidade instantânea obteremos a aceleração.

Passo 2

Assim,

f t =   V 0 . t - 16 t 2

OBS.: Lembrado da propriedade de derivada de uma função polinomial, onde cai o expoente para a frente e diminui 1 no expoente anterior).

Propriedade:

f t = x n → d f t d t = n . x n - 1

Derivando uma vez, em função do tempo, temos:

V t =   V 0 .   1 . t 1 - 1 - 16.2 . t 2 - 1 = V o . t 0 - 32 . t 1 = V o - 32 t

Derivando de novo, em função do tempo, temos:

a t =   - 32 .   1 .   t 1 - 1 =   - 32.1 =   - 32

Resposta

Assim, a aceleração é constante e vale -32 pés/s2.