Supõe-se que a altura f(t) de um projétil, t segundos depois de ter sido lançado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial v0 pés/seg, é definida por

f(t) = V0.t - 16.t^2

(a) Seguir o método descrito na Seção 4.2 para mostrar que velocidade média do projétil, no intervalo de tempo [t, t+h], é v0 – 32t – 16h pés/seg., e que a velocidade instantânea no instante t, é v0 – 32.t pés/seg.

Passo 1

Opaaa, tudo bem?? Então, nessa questão temos que usar as noções de derivada para o cálculo da velocidade.

Para a velocidade média do projétil não tem mistério, será ∆S/∆t, ou seja, espaço percorrido pelo projétil sobre o tempo percorrido.

Dessa forma,

V m é d i a =   f t + h - f ( t ) t + h - ( t ) = f t + h - f ( t ) h  

Para a velocidade instantânea, temos que pensar que o intervalo de tempo analisado é muitooooo pequeno (um instante), ou seja, h tem que ser muito pequeno... Para isso, usaremos a noção de limite.

V i n s t a n t â n e a = ∆ S ∆ t = f t + h - f ( t ) h    

Assim, da matemática, tomos que esse limite acima é justamente a definição de derivada de S em função de t, ou seja, derivada do espaço em função do tempo dá a velocidade instantânea.

Passo 2

Calculado a velocidade média:

V m é d i a = f t + h - f t h =   V o . t + h - 16 . t + h 2 - V o . t - 16 . t 2   h

V m é d i a = V o . t + V o . h - 16 . ( t 2 + 2 t h + h 2 ) - V o . t - 16 . t 2   h =   V o . h - 32 t . h - 16 h 2 h

V m é d i a = V o - 32 t - 16 h

Passo 3

Calculando a Velocidade instantânea:

V i n s t a n t â n e a = ∆ S ∆ t = f t + h - f ( t ) h     = V o . h - 32 t . h - 16 h 2 h  

Nesse momento muitas pessoas ficam em dúvida se podem ou não cortar o ‘‘h’’, mas como estamos trabalhando com a função dentro de um limite, o h não é igual a zero, ele tende a zero. Ou seja, ele vale um número muito próximo de zero, como 0,00001 ou 0,00000001 e etc. Sendo assim, podemos cortar normalmente e achar simplificar a função, obtendo,

V i n s t a n t â n e a = V o - 32 t - 16 h  

Agora que não temos mais nenhuma indeterminação (como 0/0 por exemplo), podemos jogar o valor do limite e calcula enfim a velocidade,

V i n s t a n t â n e a = V o - 32 t - 16 . 0 = V o - 32 t  

Ou seja,

V i n s t a n t â n e a = V o - 32 t

Tranquilinho? Vamo pra próxima então o/

Resposta

V m é d i a = V o - 32 t - 16 h

V i n s t a n t â n e a = V o - 32 t