Supõe-se que a altura f(t) de um projétil, t segundos depois de ter sido lançado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial v0 pés/seg, é definida por

f t =   V 0 . t - 16 t 2

(f) Dar um exemplo de outra fórmula para a altura, que origine uma aceleração de -20 pés/s2.

Passo 1

Utilizando a mesma ideia da letra e),

- Derivando, em função de dt, obtemos:

D e s l o c a m e n t o → V e l o c i d a d e → A c e l e r a ç ã o

Assim, para acharmos uma aceleração de -20 pés/s2, precisamos de uma função horária do espaço do tipo:

f t = a +   b . t - 10 t 2

Ela pode ser obtida partindo da aceleração e imaginando qual função que, ao ser derivada, daria aquela aceleração.

Ou seja, partindo da aceleração, temos:

f ' ' t = V ' ( t ) = a t = - 20

Qual função, que ao ser derivada, resulta em a(t)?

Bom, para acharmos -20, teríamos que derivar um termo do tipo -20t certo? Além disso, se tivesse qualquer constante na função da velocidade, ela iria virar 0 na aceleração, então não podemos esquecer de pôr um termo constante (e ele poderia ser qualquer número, inclusive 0). Dessa forma, obtemos uma função do tipo:

f ' t = V t = b - 2.10 t

Repetindo o mesmo processo para obtermos a função da altura (posição):

Para achar um termo igual a -20t depois de derivarmos é porque estamos derivando um termo igual a -10t2 certo? Porque assim o expoente caí e encontraremos -20t. Para o termo ‘‘b’’ da velocidade, precisaríamos derivar um termo igual a b.t . E não podemos esquecer da constante (que chamaremos de ‘‘a’’). Assim, obtemos a seguinte função:

f t = a +   b . t - 10 t 2

Passo 2

Além disso, podemos correlacionar essas constantes a e b (que podem ser negativas também) com algumas grandezas físicas do movimento.

Por exemplo, observando a função da velocidade, V(t) = b – 20t, percebemos que quando t = 0s o projétil vai estar iniciando seu movimento. Nesse caso, V(0) = b – 20.0 = b 🡪 V(0) = b. Ou seja, a constante b é a velocidade inicial do movimento, também chamada de Vo, na física.

E para a constante ‘‘a’’??

Para acharmos ela, basta olharmos a função da altura, f(t) = a + b.t – 10t2. Nesse caso, também pensando em t = 0s, temos que a altura inicial do movimento será igual a constante ‘‘a’’, o que na física chamamos de ‘‘So’’.

Outra observação importante é que o processo em que partimos da aceleração e fomos pensando em qual função derivada daria aquela é exatamente o mesmo processo que chamamos na matemática de integração. Esse é o processo inverso da derivação. Ou seja, se queremos partir de f’(x) e chegar em f(x), precisamos integrar a função f’(x) em relação ao x (dx). Assim, lembre-se da relação,

- Integrando, em função de dt, temos:

A c e l e r a ç ã o   t → V e l o c i d a d e t → D e s l o c a m e n t o   ( t )

Resposta

Função genérica da posição cuja aceleração vale -20 pés/s2:

f t = a +   b . t - 10 t 2

Com as interpretações físicas:

f t = S o +   V o . t - 10 t 2