Supõe-se que a altura f(t) de um projétil, t segundos depois de ter sido lançado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial v0 pés/seg, é definida por
(f) Dar um exemplo de outra fórmula para a altura, que origine uma aceleração de -20 pés/s2.
Passo 1
Utilizando a mesma ideia da letra e),
- Derivando, em função de dt, obtemos:
Assim, para acharmos uma aceleração de -20 pés/s2, precisamos de uma função horária do espaço do tipo:
Ela pode ser obtida partindo da aceleração e imaginando qual função que, ao ser derivada, daria aquela aceleração.
Ou seja, partindo da aceleração, temos:
Qual função, que ao ser derivada, resulta em a(t)?
Bom, para acharmos -20, teríamos que derivar um termo do tipo -20t certo? Além disso, se tivesse qualquer constante na função da velocidade, ela iria virar 0 na aceleração, então não podemos esquecer de pôr um termo constante (e ele poderia ser qualquer número, inclusive 0). Dessa forma, obtemos uma função do tipo:
Repetindo o mesmo processo para obtermos a função da altura (posição):
Para achar um termo igual a -20t depois de derivarmos é porque estamos derivando um termo igual a -10t2 certo? Porque assim o expoente caí e encontraremos -20t. Para o termo ‘‘b’’ da velocidade, precisaríamos derivar um termo igual a b.t . E não podemos esquecer da constante (que chamaremos de ‘‘a’’). Assim, obtemos a seguinte função:
Passo 2
Além disso, podemos correlacionar essas constantes a e b (que podem ser negativas também) com algumas grandezas físicas do movimento.
Por exemplo, observando a função da velocidade, V(t) = b – 20t, percebemos que quando t = 0s o projétil vai estar iniciando seu movimento. Nesse caso, V(0) = b – 20.0 = b 🡪 V(0) = b. Ou seja, a constante b é a velocidade inicial do movimento, também chamada de Vo, na física.
E para a constante ‘‘a’’??
Para acharmos ela, basta olharmos a função da altura, f(t) = a + b.t – 10t2. Nesse caso, também pensando em t = 0s, temos que a altura inicial do movimento será igual a constante ‘‘a’’, o que na física chamamos de ‘‘So’’.
Outra observação importante é que o processo em que partimos da aceleração e fomos pensando em qual função derivada daria aquela é exatamente o mesmo processo que chamamos na matemática de integração. Esse é o processo inverso da derivação. Ou seja, se queremos partir de f’(x) e chegar em f(x), precisamos integrar a função f’(x) em relação ao x (dx). Assim, lembre-se da relação,
- Integrando, em função de dt, temos:
Resposta
Função genérica da posição cuja aceleração vale -20 pés/s2:
Com as interpretações físicas: