Supondo que a derivada f ' ( a ) existe, estabelecer quais das seguintes igualdades são verdadeiras e quais as falsas. Justificar a resposta dada para cada caso.

  1. f ' a = lim h → a ⁡ f h - f ( a ) h - a
  2. f ' a = lim h → 0 ⁡ f a - f ( a - h ) h
  3. f ' a = lim t → 0 ⁡ f a + 2 t - f ( a ) t
  4. f ' a = lim t → 0 ⁡ f a + 2 t - f ( a + t ) 2 t

Passo 1

Opa... beleza??? Em cada uma dessas alíneas iremos verificar se cada igualdade se refere a aplicação da definição da derivada. Sabemos que a definição da derivada é dada de duas formas:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a ou f ' a = lim b → 0 ⁡ f b + a - f ( a ) b onde a igualdade entre as duas fórmulas é dada pela igualdade b = x - a .

Passo 2

  1. Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,
  2. f ' a = lim h → a ⁡ f h - f ( a ) h - a

    Comparando esta igualdade com a primeira definição da derivada, fazendo h = x , teremos

    f ' a = lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a

    Dessa forma, concluímos que a igualdade dada é verdadeira.

    Passo 3

  3. Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,

f ' x = lim h → 0 ⁡ f a - f ( a - h ) h

Comparando esta igualdade com a segunda definição da derivada, fazendo h = x - a ⟺ x = h + a , teremos x ⟶ a quando h ⟶ 0 . Assim,

f ' a = lim x ⟶ a ⁡ f a - f a - x - a x - a

f ' a = lim x ⟶ a ⁡ f a - f ( a - x + a ) x - a

f ' a = lim x ⟶ a ⁡ - f 2 a - x - f ( a ) x - a

Comparando esta igualdade com a primeira definição da derivada, dá para concluir que esta igualdade não representa a derivada da função f no ponto a . Sendo assim, podemos concluir que esta igualdade é falsa.

Passo 3

Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,

f ' a = lim t ⟶ 0 ⁡ f a + 2 t - f ( a ) t

Comparando esta igualdade com a primeira definição da derivada, fazendo b = t , teremos

f ' a = lim b ⟶ 0 ⁡ f a + 2 b - f ( a ) b

Como esta igualdade encontrada é diferente da dada na segunda definição da derivada, concluímos então que a igualdade dada nesta alínea é falsa.

Passo 4

Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,

f ' a = lim t ⟶ 0 ⁡ f a + 2 t - f ( a + t ) 2 t

Para tentarmos coloca-la como a segunda definição da derivada, devemos fazer b = 2 t onde b ⟶ 0 quando t ⟶ 0 . Substituindo teremos,

f ' a = lim b ⟶ 0 ⁡ f a + b - f a + b 2 b

Comparando esta igualdade com a segunda definição da derivada, veremos que ela não representa a derivada da função f no ponto a . Sendo assim, concluímos que a igualdade dada nesta alínea é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Falsa
  4. Falsa