Supondo que a derivada existe, estabelecer quais das seguintes igualdades são verdadeiras e quais as falsas. Justificar a resposta dada para cada caso.
Passo 1
Opa... beleza??? Em cada uma dessas alíneas iremos verificar se cada igualdade se refere a aplicação da definição da derivada. Sabemos que a definição da derivada é dada de duas formas:
ou onde a igualdade entre as duas fórmulas é dada pela igualdade .
Passo 2
- Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,
- Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,
Comparando esta igualdade com a primeira definição da derivada, fazendo , teremos
Dessa forma, concluímos que a igualdade dada é verdadeira.
Passo 3
Comparando esta igualdade com a segunda definição da derivada, fazendo , teremos quando . Assim,
Comparando esta igualdade com a primeira definição da derivada, dá para concluir que esta igualdade não representa a derivada da função no ponto . Sendo assim, podemos concluir que esta igualdade é falsa.
Passo 3
Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,
Comparando esta igualdade com a primeira definição da derivada, fazendo , teremos
Como esta igualdade encontrada é diferente da dada na segunda definição da derivada, concluímos então que a igualdade dada nesta alínea é falsa.
Passo 4
Como nessa alínea foi dada a seguinte igualdade,
Para tentarmos coloca-la como a segunda definição da derivada, devemos fazer onde quando . Substituindo teremos,
Comparando esta igualdade com a segunda definição da derivada, veremos que ela não representa a derivada da função no ponto . Sendo assim, concluímos que a igualdade dada nesta alínea é falsa.
Resposta
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Falsa