Supondo que f é integrável e não negativa em [a,b] e que ∫ a b f x d x = 0 , provar que f x = 0 em cada ponto de continuidade de f. [Sugestão: se f c = 0 num ponto de continuidade c, existe uma vizinhança de c na qual f ( x ) > 1 2 f c ].

Passo 1

O enunciado diz pra fazermos duas considerações:

  1. f não nunca never vai assumir um valor negativo
  2. f é um ponto de continuidade de c

Beleza, mas o que significa isso?

Sendo f contínuo, vamos usar a sugestão do enunciado e supor que f c > 0 e que 1 2 f c > 0

Passo 2

Tranquilo, tranquilo, continuando o raciocínio, temos que relacionar a função f à continuidade c, assim:

f x - f c < E       →       f c - E < f x < f c + E

A partir daqui, vamos deixar E = 1 2 f c ∃ δ > 0 para E = 1 2 f ( c ) . Logo,

∫ c - δ c + δ f x d x > 1 2 f c 2 δ = f c δ > 0

Mas, tem aquele detalhezinho que a questão impôs, lembra?

A integral ∫ a b f x d x = 0 e f é não negativo, consequentemente, a função contínua é f c = 0 sendo f x = 0 nos pontos da função contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)