Enunciado

Suponha que em um alojamento universitário existam 1.000 estudantes. Após as férias, 20 estudantes do alojamento retornam com gripe e, 5 dias mais tarde, 35 estudantes estão gripados.

(a) Use o resultado do Exercício 50 para encontrar o número de estudantes que estão gripados t dias após o retorno das férias.

Passo 1

Essa questão pode ser facilmente resolvida apenas com a lógica. O primeiro passo é obter a solução da questão pedida (50), que é:

y t = y 0 * L y 0 + L - y 0 * e - K L * t (1)

Passo 2

Depois disso, o comando pede para considerarmos a quantidade inicial de pessoas doentes como y 0 = 20 e o limite de pessoas que podem ficar doentes é L=1000. Substituindo esses valores na equação (1), temos:

y t = 20 * 1000 20 + 1000 - 20 * e - 1000 K * t = 20000 20 + 980 * e - 1000 K * t = 1000 1 + 49 * e - 1000 K * t                 ( 2 )

Passo 3

Para descobrir o valor da constante “K”, podemos considerar a situação dada no comando de que em 5 dias 35 pessoas estarão infectadas. Logo, substituindo y ( 5 ) = 35 na equação (2), temos:

35 = 1000 1 + 49 * e - 1000 * 5 * t     →     7 = 200 1 + 49 * e - 1000 * 5 * k     →     7 + 343 * e - 1000 * 5 * k = 200

→     e - 5000 * k = 193 343

Aplica-se a função logarítmica para isolar a constante “k”:

k = - l o g ⁡ ( 193 343 ) 5000

Depois disso, é só substituir o valor da constante “k” na equação (2)

y t = 1000 1 + 49 * e - 1000 * - l o g ⁡ ( 193 343 ) 5000 * t   =     1000 1 + 49 * e l o g ⁡ ( 193 343 ) 5 * t   =     1000 1 + 49 * ( 193 343 ) t 5

Resposta

y t = 1000 1 + 49 * ( 193 343 ) t 5

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