Suponha que um arame tenha a equação y = 1 − x (0 ≤ x ≤ 1) e que sua densidade de massa seja δ(x, y) = 2 − x. A massa do arame é __________

Passo 1

Eba, essa questão tá moleza, vamos lá!!!

A primeira coisa que temos que lembrar é de expressa a massa M do arame como um integral de linha, desse modo:

M = ∫ C δ ( x , y )   d s = ∫ C ( 2 - x )   d s               ( 1 )

Passo 2

Para resolvermos essa integral temos que expressar a equação y, C, parametricamente:

y = 1 − x

x(t)=t

y(t)=1-t (0 ≤ t ≤ 1)

Substituindo esses valores na fórmula da massa M, temos:

∫ C ( 2 - x )   d s     →     ∫ 0 1 ( 2 - t )   d x d t 2 + d y d t 2 d t

∫ 0 1 ( 2 - t ) 1 2 + - 1 2 d t       →       ∫ 0 1 ( 2 - t ) 2

Passo 3

Resolvendo a integral temos a massa do arame de:

2 t - t 2 2 2 0 1   =   2 - 1 2 2   =   4 - 1 2 2   =   3 2 2

Resposta

3 2 2