Suponha que, conforme um corpo esfria, a temperatura do meio circundante aumente porque absorve completamente o calor perdido pelo corpo. Seja T(t) e T_m(t) a temperatura do corpo e do meio em um instante de tempo t , respectivamente. Se a temperatura inicial do corpo é T₁ e a do meio é T2 , então pode ser mostrado neste caso que a lei de Newton do resfriamento é dT/dt = k(T - Tm), k < 0 , tal que T_m = T_2 + B(T_1 - T), B > 0 é constante.

a) A ED exposta é autônoma. Use o conceito de gráfico de fase da Seção 2.1 para determinar o valor limite da temperatura T(t) quando t → infinito . Qual é o valor limite de T_m(t) quando t → infinito ?

Passo 1

a equação diferencial é d T d t = k T - T 2 - B T 1 - T = k ( 1 + B ) T - B T 1 + T 2

Separando variáveis, obtemos

d T ( 1 + B ) T - B T 1 + T 2 = k d t . Então 1 1 + B l n ⁡ ( 1 + B ) T - B T 1 + T 2 = k t + c e T ( t ) = B T 1 + T 2 1 + B + c 3 e k ( 1 + B ) t

Uma vez que T ( 0 ) = T 1 devemos ter c 3 = T 1 - T 2 1 + B e então   T ( t ) = B T 1 + T 2 1 + B + T 1 - T 2 I + B e k ( 1 + B ) t

Resposta

a equação diferencial é d T d t = k T - T 2 - B T 1 - T = k ( 1 + B ) T - B T 1 + T 2

Separando variáveis, obtemos

d T ( 1 + B ) T - B T 1 + T 2 = k d t . Então 1 1 + B l n ⁡ ( 1 + B ) T - B T 1 + T 2 = k t + c e T ( t ) = B T 1 + T 2 1 + B + c 3 e k ( 1 + B ) t

Uma vez que T ( 0 ) = T 1 devemos ter c 3 = T 1 - T 2 1 + B e então   T ( t ) = B T 1 + T 2 1 + B + T 1 - T 2 I + B e k ( 1 + B ) t