Suponha que uma função f(x, y, z) seja diferenciável no ponto (1, 2,3) com f_x(1, 2, 3) = 1 e f_y(1, 2,3) = 2 e f_z(1, 2,3) = 3 . Se f(1, 2,3) = 4 , estime o valor de f(1,01; 2,02; 3,03) .

Passo 1

A equação de aproximação linear local nos informa que:

L x ,   y , z = f x 0 ,   y 0 , z 0 + f x x 0 ,   y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 ,   y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 ,   y 0 , z 0 z - z 0

Passo 2

Vamos fazer a substituição dos valores fornecidos no problema.

L x ,   y = 4 + 1 x + 1 + 2 y - 2 + 3 z - 3

Considerando que:

L ( 1,01 ;   2,02 ;   3,03 ) = f ( 1,01 ;   2,02 ;   3,03 )

Temos:

L 1,01 ;   2,02 ;   3,03 = 4 + 1 1,01 + 1 + 2 2,02 - 2 + 3 3,03 - 3 = 4,14

Bem tranquilinha, né?

Resposta

f ( 1,01 ;   2,02 ;   3,03 ) = 4,14