Suponha que uma função f(x, y, z) seja diferenciável no ponto (2, 1, -2) com f_x(2, 1, -2) = -1 e f_y(2, 1, -2) = 1 e f_z(2, 1, -2) = -2 . Se f(2, 1, -2) = 0 , estime o valor de f(1,98; 0,99; -1,97) .

Passo 1

A equação de aproximação linear local nos informa que:

L x ,   y = f x 0 ,   y 0 , z 0 + f x x 0 ,   y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 ,   y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 ,   y 0 , z 0 z - z 0

Passo 2

Vamos fazer a substituição dos valores fornecidos no problema.

L x ,   y , y = 0 - 1 x - 2 + 1 y - 1 - 2 z + 2

Considerando que:

L ( 1,98 ;   0,99 ;   - 1,97 ) = f ( 1,98 ;   0,99 ;   - 1,97 )

Temos:

L 1,98 ;   0,99 ;   - 1,97 = - 1 1,98 - 2 + 1 0,99 - 1 - 2 - 1,97 + 2 = - 0,05

Bem tranquilinha, né?

Resposta

f 1,98 ;   0,99 ;   - 1,97 = - 0,05