Suponha que, no instante t = 0, um objeto com uma temperatura de T₀ é colocado em uma sala a uma temperatura constante de T_a . Se T₀ T a . , então a temperatura do objeto irá subir, enquanto que se T_0 > T_a . ela irá baixar. Supondo que a Lei do Resfriamento de Newton se aplique, mostre que em ambos os casos a temperatura T(t) no instante t é dada por T(t) = Ta + (T0 - Ta) * e^(-kt)

Passo 1

Faaala, galera. Que tal nós resolvermos essa questão usando a lógica heim?

Primeiramente nós temos que relembrar que a Lei do Resfriamento de Newton pode ser escrita da seguinte forma:

d T d t = k T - T a                           1

Sendo a variação de temperatura a diferença entre a temperatura do objeto (T) e a temperatura do ambiente ( T a ) vezes uma constante (k).

Passo 2

O segundo passo é identificar as duas situações dadas no problema e aplicar os valores na equação (1)

a )   T 0 < T a           →           d T d t = k T a - T 0

b )   T 0 > T a           →           d T d t = - k T 0 - T a

Passo 3

Podemos provar a Lei do Resfriamento pelo método de Separação de Variáveis a equação (1), esse método consiste em colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, podemos utilizar essa estratégia:

d T d t = - k T - T a     →     1 T - T a     d T = - k   d t

Depois de separar as variáveis, nós integramos dos dois lados:

∫ 1 T - T a     d T = ∫ - k   d t         →       l o g l o g   T - T a   = - k t + C

Para retirar o logaritmo das variáveis, nós elevamos os dois lados da equação à base “e” considerando “C” uma constante da diferença de temperatura

l o g l o g   T - T a   = - k t + C       →       T - T a = e - k t + C       →       T t = T a + C *   e - k t

→       T t = T a + T - T a   e - k t

Resposta

T t = T a + T - T a   e - k t