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  1. Suponha que |x| < r , r > 0 e que underset(n -> oo)(lim) a_n r^n = 0 . Prove que underset(n -> oo)(lim) n a_n x^n = 0 .

Passo 1

Muito bem galera !!

Vamos ver o que temos certo?

Sabemos que:

|x| < r , r > 0

Quando isto ocorre nós teremos:

underset(k -> oo)(lim) a_k r^k = 0

Beleza!! Se nós fizermos uma modificação na função que queremos comprovar:

|k a_k x^k| = a_k r^k . k |(x)/(r)|^k

Aplicando o limite:

underset(k -> oo)(lim) |k a_k x^k| = underset(k -> oo)(lim) k |(x)/(r)|^k xx underset(k -> oo)(lim) a_k r^k

underset(k -> oo)(lim) |k a_k x^k| = underset(k -> oo)(lim) k |(x)/(r)|^k xx 0

underset(k -> oo)(lim) |k a_k x^k| = 0

Eu sei galerinha, demonstrações são pesadas, mas olhem com carinho e vocês conseguirão entender !!

Resposta

underset(n -> oo)(lim) n a_n x^n = 0

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