Enunciado

Suponha que z   =   x / y , onde x e   y são funções diferenciáveis de u e v tais que x   =   3 , y   =   1 , ∂ x / ∂ u   =   4 , ∂ x / ∂ v   =   - 2 , ∂ y / ∂ u   =   1 e ∂ y / ∂ v   =   - 1 quando u   =   2 e v   =   1 . Se u   =   2 e v   =   1 , então ∂ z / ∂ u   =   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ e ∂ z / ∂ v   =   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Passo 1

Bom, nesse exercício temos que fazer a Regra da Cadeia duas vezes considerando u e v .

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Resolvendo primeiro a ∂ z / ∂ u , temos:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u =   1 y 4 - x 1 = 4 y - x

Substituindo x   =   3 , y   =   1 , temos:

∂ z ∂ u = 4 y - x =   4 1 - 3 = 1

Passo 3

Dá mesma forma resolvemos a ∂ z / ∂ v , temos:

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v =   1 y - 2 - x - 1 = - 2 y + x

Substituindo x   =   3 , y   =   1 , temos:

∂ z ∂ v = - 2 1 + 3 =   - 2 + 3 = 1

Resposta

∂ z ∂ u = 1

∂ z ∂ v = 1

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