Suponha que z = x / y , onde x e y são funções diferenciáveis de u e v tais que x = 3 , y = 1 , ∂x/∂u = 4 , ∂x/∂v = -2 , ∂y/∂u = 1 e ∂y/∂v = -1 quando u = 2 e v = 1 . Se u = 2 e v = 1 , então ∂z/∂u e ∂z / ∂v = _________ .

Passo 1

Bom, nesse exercício temos que fazer a Regra da Cadeia duas vezes considerando u e v .

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Resolvendo primeiro a ∂ z / ∂ u , temos:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u =   1 y 4 - x 1 = 4 y - x

Substituindo x   =   3 , y   =   1 , temos:

∂ z ∂ u = 4 y - x =   4 1 - 3 = 1

Passo 3

Dá mesma forma resolvemos a ∂ z / ∂ v , temos:

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v =   1 y - 2 - x - 1 = - 2 y + x

Substituindo x   =   3 , y   =   1 , temos:

∂ z ∂ v = - 2 1 + 3 =   - 2 + 3 = 1

Resposta

∂ z ∂ u = 1

∂ z ∂ v = 1