Suponha que z = (xy)^2 e que x e y sejam funções diferenciáveis de t com x = 1 , y = -1 , dx/dt = -2 e dy/dt = 3 quando t = -1 . Então dz/dt = ________ quando t = -1 .

Passo 1

Muito bem, essa questão é aplicação direta da Regra da Cadeia. Mas antes, vamos entender as informações que nos foi dada.

O exercício pede o valor de d z / d t     quando t   =   - 1 .

Onde:

d z d t = d z d x d x d t + d z d y d y d t

E, quando t   =   - 1 , temos que:

d x d t =   - 2

d y d t =   3

Certo?

Passo 2

Agora vamos fazer a derivada de z   =   x y 2 em função de x e y , temos:

d z d x = y 2

d z d y = 2 x y

Prontinho, agora é só substituir na equação os valores encontrados.

d z d t = d z d x d x d t + d z d y d y d t

d z d t = y 2 - 2 + 2 x y 3 = - 2 y 2 + 6 x y

Substituindo x   =   1 , y   =   - 1 , temos:

d z d t = - 2 y 2 + 6 x y =   - 2 - 1 2 + 6 1 - 1 =   - 2 - 6 = - 8

O que acharam? Tranquila?

Resposta

d z d t = - 8