Suponha que um prédio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton (veja o Problema 15 ) e que a taxa k tem valor 0.15 * h^(-1) . Suponha que a temperatura no interior era de 70° F (cerca de 21° C ) quando ocorreu uma falha no sistema de aquecimento. Se a temperatura externa estava em 10° F (cerca de -12 °C ), quanto tempo vai levar para a temperatura no interior chegar a 32°F (0°C)?

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Neste exercício vamos ter que recorrer a uma questão anterior pois ela será fundamental para resolver esse problema. Tranquilo!

Bora lá começar então!

Recorrendo ao problema 15, a equação diferencial para esse problema pode ser descrito como:

d u d t = - 0,15 (   u - 1 0 )

Agora devemos encontrar a condição inicial deste problema. Tranquilo!

P a r a   u ( 0 ) =   70   ° F

Ei! A condição inicial está no enunciado do exercício. Beleza!

Agora vamos resolver nossa linda equação diferencial.

∫ 1 u - 10   d u = ∫ - 0,15 d t

ln ⁡   u - 10 = - 0,15 t + C

u - 10 = A e - 0,15 t

u ( t ) = A e - 0,15 t + 10

Aplicando a condição inicial u ( 0 ) =   70   ° F ou seja fazendo t = 0   , vamos obter:

u ( 0 ) = A e - 0,15 . 0 + 10

u ( 0 ) = A e 0 + 10

70   = A e 0 + 10

70 - 10   = A . 1

60   = A

Aplicando o valor de A na linda equação diferencial teremos:

u ( t ) = 60 e - 0,15 t + 10

Até aí tranquilo?

Beleza, vamos continuar então!

Passo 2

Agora vamos ter que encontrar o tempo quando a temperatura for 32 ° F, mas uma vez usaremos a linda EDO.

u ( t ) = 60 e - 0,15 t + 10

Onde u t = 32 ° F

Bora lá colocar a mão na massa!

32   = 60 e - 0,15 t + 10

32 - 10   = 60 e - 0,15 t

22   = 60 e - 0,15 t

22 60   = 60 e - 0,15 t

0,3666   = e - 0,15 t

ln ⁡ ( 0,3666 )   = - 0,15   t

- 1,003     = - 0,15   t

- 1,003 - 0,15   = t

t = 6,69   h o r a s

Chegamos ao fim!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

t = 6,69   h o r a s