Suponha que uma quantidade y = y(t) tenha um modelo de crescimento exponencial com constante de crescimento k > 0.
(a) y(t) satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem do tipo dy/dt = __________.
(b) Em termos de k, o tempo de duplicação da quantidade y é __________.
(c) Se y0 = y(0) é a quantidade inicial de y, então uma fórmula explícita para y(t) é dada por y(t) = __________
Passo 1
A ideia mais fácil para resolver essa questão é realmente entende o que o comando está nos dizendo, olha só:
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O comando diz que há uma quantidade y=y(t) com crescimento exponencial, logo, para escrevermos uma equação diferencial de primeira ordem basta escrevermos a equação de um modelo de crescimento exponencial em função das variáveis “y” e “t”, logo:
Passo 2
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Para relacionar o tempo de duplicação de “y”, é importante que primeiro tenhamos uma equação, assim, utilizaremos o método de Separação de Variáveis na equação (1), colocar a equação no modelo: , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, assim temos:
Integrando os dois lados da equação:
Consideramos uma condição inicial de y= quando t=0 ´para sabermos o valor da constante “C”
Substituindo na equação (2), temos:
E por fim, nós utilizamos a equação (3) para saber o tempo que demoraria para que “y” duplicasse, ou seja, queremos, y=2, substituindo na equação:
2
Passo 3
- A fórmula explícita é a equação (3) que nós anteriormente já descobrimos, logo: