Enunciado

Suponha que uma quantidade y = y(t) tenha um modelo de crescimento exponencial com constante de crescimento k > 0.

(a) y(t) satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem do tipo dy/dt = __________.

(b) Em termos de k, o tempo de duplicação da quantidade y é __________.

(c) Se y0 = y(0) é a quantidade inicial de y, então uma fórmula explícita para y(t) é dada por y(t) = __________

Passo 1

A ideia mais fácil para resolver essa questão é realmente entende o que o comando está nos dizendo, olha só:

  1. O comando diz que há uma quantidade y=y(t) com crescimento exponencial, logo, para escrevermos uma equação diferencial de primeira ordem basta escrevermos a equação de um modelo de crescimento exponencial em função das variáveis “y” e “t”, logo:

    d y d t = k y               ( 1 )

    Passo 2

  2. Para relacionar o tempo de duplicação de “y”, é importante que primeiro tenhamos uma equação, assim, utilizaremos o método de Separação de Variáveis na equação (1), colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, assim temos:

    1 y d y = k   d t

    Integrando os dois lados da equação:

    ∫ 1 y d y = ∫ k   d t       →   l o g l o g   y = k t + C               ( 2 )

    Consideramos uma condição inicial de y= y 0 quando t=0 ´para sabermos o valor da constante “C”

    y 0  

    Substituindo na equação (2), temos:

    l o g l o g   y = k t + l o g l o g   y 0           →       y = y 0 e k t             ( 3 )

    E por fim, nós utilizamos a equação (3) para saber o tempo que demoraria para que “y” duplicasse, ou seja, queremos, y=2 y 0 , substituindo na equação:

    2 y 0 = y 0 e k t       →       e k t = 2       →         t = 1 k l o g l o g   2  

    Passo 3

  3. A fórmula explícita é a equação (3) que nós anteriormente já descobrimos, logo:

y t = y 0 e k t

Resposta

a )   d y d t = k y

b )   t = 1 k l o g l o g   2  

c )   y t = y 0 e k t

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