4. Suponha que y = f(x) e y = g(x) , x ∈ I , sejam soluções da equação

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Onde p e q são supostas contínuas em I . Suponha que o wronskiano de f e g não se anule em I . Sejam a < b , com a e b no intervalo I , dois zeros consecutivos de g(x) , isto é, g(a) = 0 , g(b) = 0 e, para todo x em ] a, b [ , g(x) ≠ 0 . Prove que existe c em ]a, b[ tal que f(c) = 0 . Interprete.

Sugestão: W(x) = f(x) * g'(x) - f'(x) * g(x) , segue que W(a) = f(a) * g' (a) e W(b) = f(b) * g'(b) . Verifique que g'(a) * g'(b) < 0 e conclua que f(a) e f(b) têm sinais contrários.

Passo 1

Bem, de acordo com o teorema do valor médio, para uma função contínua que zera duas vezes seguida em a e b , tem que existir um c no meio deles tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Só que no nosso caso f a = f b = 0 :

f ' c = 0

Perceba que a função necessariamente deve crescer de um lado e decrescer de outro para isso ser verdade. Isso significa que em a e b , as derivas devem ter sentidos opostos. Logo...

g ' a ⋅ g ' b < 0

Passo 2

O Wronskiano é uma função que não pode ser 0 em nenhum ponto do intervalo onde a EDO está definida (intervalo I ).

W x ≠ 0         p a r a   t o d o       x ∈ I

Isso significa que se ao calcularmos, a gente perceber que ele é positivo para um x 0 qualquer, então ele deve continuar positivo sempre, afinal para passar para os negativos ele tem que passar pelo W x = 0 :

W x 0 > 0     →             W x > 0

Ou, se ele for negativo para x 0 , então ele deverá ser sempre negativo:

W x 0 < 0     →             W x < 0

Como sabemos da sugestão...

W a = f a g ' a

W b = f b g ' b

Então, para não alterar o sinal do Wronskiano, Já que g ' a e g ' b , tem sinais opostos, então f a e f b também devem ter!

Assim, por exemplo, se g ' a for positivo e o wronskiano também, f a deve ser positivo. Como g ' b vai ser o oposto de g ' a (negativo), f b deve ser o oposto do f a , ou seja, negativo, saca?

Bem, se f a e f b tem sinais contrários, o f só pode passar por 0 em algum ponto entre eles (ponto c que pode não ser o memso ponto c do passo 1):

f c = 0

Resposta

Questão de demonstração.

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