Suponha que A, B e C sejam os vértices de um triângulo e que a, b e c sejam, respectivamente, os pontos médios dos lados opostos. Mostre que A(a) + B(b) + C(c) = 0 .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e a geometria do espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre teoria e aplicações de vetores e geometria espacial.

Analisando o enunciado e sem perda de generalidade, podemos coordenar os vértices do triângulo de modo que:

A   0 ,   0 ,   B   b ,   0   e   C   x C ,   y C

Os pontos médios são:

a = b + x C 2 , y C 2 ,   b = x C 2 , y C 2   e   c = b 2 ,   0

Daí temos que:

A a → = b + x C 2 , y C 2 - 0 ,   0 = b + x C 2 , y C 2 = b + x C 2 i + y C 2 j

B b → = x C 2 , y C 2 - b ,   0 = x C 2 - b , y C 2 = x C 2 - b i + y C 2 j

C c → = b 2 ,   0 - x C ,   y C = b 2 - x C ,   - y C = b 2 - x C i - y C j

Passo 2

A relação cuja demonstração foi pedida é:

A a → + B b → + C c → = 0 →

Mostrando sua validade:

b + x C 2 i + y C 2 j + x C 2 - b i + y C 2 j + b 2 - x C i - y C j =

= b + x C 2 + x C 2 - b + b 2 - x C i + y C 2 + y C 2 - y C j = 0 i + 0 j = 0 →

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.