Suponha que um tanque grande de mistura tenha inicialmente 300 litros de água na qual 50 kg de sal foram adicionados. Água pura é bombeada para o tanque a uma taxa de 3 litros/ min, e quando a solução está bem misturada, é bombeada para fora à uma taxa mais lenta, de 2 litros/mim. Se a concentração da solução que entra for de 2 kg/litro, determine uma equação diferencial para a quantidade A(t) de sal no tanque no instante de tempo t.
Passo 1
Vamos chamar de N(t) a quantidade de sal no tanque..então sabemos que N(0)=50 kg de sal, foi o que ele disse no começo da questão. O que queremos saber é o N(10), certão? Para isso, temos que começar entendendo como a quantidade de sal N(t) está variando com o tempo dentro do tanque, ou seja, a taxa de variação de N(t) em relação ao tempo, opa, isso é dN(t)/dt. Mas calma ae, isso não é a taxa de variação? No caso do tanque, temos que analisar a quantidade de sal que entra e subtrair da quantidade de sal que sai:
Passo 2
E a taxa que entra é diferente? Naada! Só se liga que ele falou que o sal já saiu completamente misturado...então a quantidade que sai é N(t) gramas/L? Não não! N(t) é tudo que tem no tanque! Você tem que dividir isso uniformemente pros 300 litros fixos(Repara que a quantidade de água que sai, é igual a que entra!) que tem no tanque! Então é N(t) gramas/(300 L)..ae sim, agora é uma taxa de saída, do outro jeito saía o sal todo em 1 litro, faz sentido? Náá..
dN(t)/dt=Taxa que entra - Taxa que sai(
Mas quem é a taxa que entra? Ele disse na questão!
Taxa que entra=(2 L/min) * (2kg /L) = 4 kg /min
Resposta
4 kg /min