Suponhamos que o tamanho de uma população de baratas numa casa dobre a cada mês, e que no fim do mês de dezembro de 2010, foram registradas 3 baratas. Dê o número de baratas em função do número de meses passados (n = 1: fim de janeiro, etc.) Quantas baratas vivem na casa no fim do mês de julho de 2011? No fim de agosto? Quando será ultrapassado o milhão de baratas?

Passo 1

Falaaa meu jovem calculista,

Bora resolver aquela questão contextualizada que envolve l o g .

inicialmente vamos entender o problema se o tamanho da população dobra a cada mês, e seja n o número do mês, então em n=1 temos a população de baratas P = 2 , quando n = 2 teremos P   =   4   =   2 2 , ou seja, quando n = k   teremos P ( n ) =   2 k . No entanto em dezembro de 2010 foram registradas 3 baratas, daí em janeiro n = 1 teremos p ( 1 ) =   3   . 2 1   =   6 , logo quando n = k   o número P ( n )     do tamanho da população de baratas será P ( n ) =   3   . 2 k .

Passo 2

Vamos então pensar na primeira parte da pergunta, Quantas baratas vivem na casa no fim do mês de julho de 2011? No fim de agosto?

Se no final do mês de janeiro de 2011 n = 1 , no final do mês de julho de 2011 n = 7 , agora basta substituir na equação P ( 7 )   =   3   .   2 7 = 3   .   128 = 384 . Portanto no final do mês de junho o tamanho da população era de 384   b a r a t a s . Para a segunda parte pense que no fim de agosto teremos n = 8 , substituindo na função temos que P ( 8 ) = 3 .   2 8 =   3 .   2 7   . 2   = 384   . 2   =   768 .  

Logo no final do mês de agosto de 2011 a população será de 768   b a r a t a s .

Passo 3

Por fim vamos responder, Quando será ultrapassado o milhão de baratas?

isso significa que a população P ( n )   >   1.000.000 , substituindo nossa P ( n ) = 3 . 2 n e desenvolvendo a inequação temos ,

P ( n )   >   1.000.000

3   .   2 n > 1.000.000  

2 n >   1.000.000 3

n >   l o g 2 1.000.000 3

n >   18,34 . . .

Isto é, no fim do décimo nono mês, o que significa julho de 2012.

Resposta

384 baratas, 768 baratas e a população terá ultrapassado o milhão de baratas no final de julho de 2012.