Suponhamos que em vez da definição usual de derivada Df(x), se defina nova espécie de derivada, D*f(x), pela fórmula

D * f(x) = (f^2(x + h) - f^2(x)) / h

Onde f^2(x) significa [f(x)]^2 .

  1. Derivar fórmulas para o cálculo da derivada D* da soma, da diferença, produto e quociente de duas funções.

Passo 1

Se liga!

Assim como o enunciado pediu, começaremos derivando a fórmula de D* da soma, para isso basta aplicarmos na fórmula:

D * f + g = f x + h + g x + h 2 - f x + g x 2 h  

A partir daqui é só desenvolver a equação, vamos lá?

F + G 2 - f + g 2 h = D * f + D * g + l i m h → 0     2 F G - 2 f g h = l i m h → 0 2 F G - 2 f g h = l i m h → 0 ( 2 F G - 2 f G ) ( F + f ) F + f h + 2 f G - 2 f g ( G + g ) g + G h = l i m h → 0 2 g F + h   l i m h → 0 F 2 - f 2 h +   l i m h → 0 2 f G + g     l i m h → 0 G 2 - g 2 h = g f D * f + f g D * g

Passo 2

A parte dois desse probleminha é derivar a fórmula de D* da diferença.

D *   ( f   -   g )   = f x   +   h -   g x   +   h 2   -   f x -   g x 2 h       = F - G 2 - f - g 2 h =       D *   f   +   D *   g   - 2 F G - 2 f g h = D * f + D * g - g f D * f + f g   D * g    

Passo 3

O terceiríssimo passo é derivar a fórmula de D* do produto.

D * f g = l i m h → 0   f g x + h 2 - f g x 2 h = l i m h → 0   f 2 x + h g 2 x + h - f 2 x g 2 x + h + g 2 x + h - g 2 x f 2 ( x ) h = g 2 D * f + f 2 D * g

Passo 4

E por fim, temos derivação pelo quociente das duas funções

D * f g = l i m h → 0 f 2 ( x + h ) g 2 ( x + h ) - f 2 ( x ) g 2 ( x ) h = l i m h → 0   f 2 x + h - f 2 ( x ) g 2 ( x + h ) - f 2 x g 2 x + h - f 2 ( x ) g 2 ( x ) h = D * f g 2 + f 2 g 4 - D * g

Eee terminamos !!

Resposta

g f D * f + f g D * g

D * f + D * g - g f D * f + f g   D * g

g 2 D * f + f 2 D * g

D * f g 2 + f 2 g 4 - D * g