Supor f contínua em [a,b]. Supor também que ∫ a b f x g ( x ) d x = 0 , para cada função g que é contínua em [a,b]. Provar que f(x)=0 para todo x de [a,b].

Passo 1

Uma estratégia muuuito boa pra mandar bem nessa questão é usar o o Teorema 3.16, nesse nós temos as funções f * g contida em um intervalo fechado, tal que c ∈ [ a , b ] , além disso f ( c ) tem valores máximo (M) e mínimo (m), portanto:

m i n x ∈ [ a , b ] f ≤ f * g ≤ m a x x ∈ a , b f

Podemos escrever como:

m i n x ∈ a , b f *   ∫ a b g x   d x   ≤ ∫ a b f x g x   d x   ≤ m a x x ∈ a , b f *   ∫ a b g x   d x  

Passo 2

Conseguiu pegar o raciocínio? A gente vai reescrever o teorema com os valores máximo, mínimo e as funções f e g, vamos lá

m   ∫ a b g   ≤ ∫ a b f g   ≤ M   ∫ a b g           →         m ∫ a b g   ≤ 0 ≤ M ∫ a b g   ∀ g

Ou seja...

m ≤ 0 ≤ M para ∫ a b g   = 1 mas também - m   ≤   0   ≤   - M         →     m   ≥   0   M   ≤   0   para ∫ a b g   = - 1 .

Pera aí, percebeu que isso é uma contradição?

Pois m = M = 0 e segundo o Teorema de valor intermediário, f   =   0 ,   ∀ x   ∈   [ a ,   b ] .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)