Um tanque inicialmente contém s0 kg de sal dissolvidos

em 757 L de água, onde s0 é algum número positivo.

Começando no tempo t = 0, a água contendo 0,06 kg de sal

por litro entra no tanque a uma taxa de 15 L/min, e a solu-

ção bem agitada sai na mesma velocidade. Considerando que c(t) seja a concentração de sal no tanque no instante t,

mostre que a concentração no limite – ou seja, mostre que

limt→∞ c(t) – é 0,06 kg/litro.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1   g a l   =   3,78541   L

1   l i b r a   =   0,453592   K g

taxa de alteração ​​=taxa de entrada-taxa de saída

d s ( t ) d t   =   ( 4 ) ( 0.5 )   -   ( 4 ) ( s ( t ) 200 )

d s ( t ) d t   =   2   -   0.02 s ( t )

então agora nós temos,

d s d t   =   2   - 0.02 s

d s d t + 0.02 s   = 2   ( 3 )

esta é uma equação linear, tem um fator de integração, onde,

P ( t )   =   0.02   →   ∫ P ( t ) d t   =   ∫ 0.02   d t   =   0.02 t

entao,

μ ( t )   =   e ∫ P ( t )   d t   =   e ∫ 0.02   d t   =   e 0.02 t

Passo 2

multiplicando (1) por μ ( t )

∫ d d t [ e 0.02 t s ] d t   =   ∫ 2 e 0.02 t d t

e 0.02 t s   =   100 e 0.02 t + C

s ( t 0   =   100   +   C e - 0.02 t

s ( t )   =   200 c ( t ) ,   e n t ã o

200 c ( t )   =   100   +   C e - 0.02 t

Resposta

l i m t → ∞ c ( t )   =   0.5