72)

Calcule:

int_0^((pi)/(4)) ( s e c ( x ) + 4 . c o s ( x ) ) ² d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Boraaa... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

int_0^((pi)/(4)) ( s e c ( x ) + 4 . c o s ( x ) ) ² d x

Passo 2

Portanto expandindo, temos:

(sec (x) + 4 cos (x))^2 = sec^2 (x) + 8 sec (x) cos (x) + 16 cos^2 (x)

Sabendo que:

sec (x) = (1)/(cos (x))

sec^2 (x) + 8 sec (x) cos (x) + 16 cos^2 (x) = sec^2 (x) + 8 + 16 cos^2 ( x )

Simplificando temos que:

int_0^((pi)/(4)) (sec (x) + 4 . cos (x))^2 d x = int_0^((pi)/(4)) (sec^2 (x) + 8 + 16 cos^2 (x)) d x

Sabendo que a soma de uma integral é a soma das integrais podemos fazer:

int_0^((pi)/(4)) sec^2 (x) d x + 8 int_0^((pi)/(4)) 1 d x + 16 int_0^((pi)/(4)) cos^2 (x) d x

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

int sec^2 (x) d x = tan (x) + C

E:

int cos^2 (x) = (1)/(2) ((s e n (2 x))/(2) + x) + C

Assim temos que:

int_0^((pi)/(4)) sec^2 (x) d x + 8 int_0^((pi)/(4)) 1 d x + 16 int_0^((pi)/(4)) cos^2 (x) d x =

[tan (x) + 8 x + (16)/(2) (x + (s e n (2 x))/(2))]_0^((pi)/(4)) =

((1 - 0) + (2 pi - 0) + 8 (((pi)/(4) - 0) + ((1)/(2) - 0)))

1 + 2 pi + 2 pi + 4 =

4 pi + 5

Assim concluímos que:

int_0^((pi)/(4)) ( s e c ( x ) + 4 . c o s ( x ) ) ² d x = 4 pi + 5

Resposta

int_0^((pi)/(4)) ( s e c ( x ) + 4 . c o s ( x ) ) ² d x = 4 pi + 5