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Calcule:

a ) int cos^3 (theta) d theta

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

int cos^3 (theta) d theta

Passo 2

Existe um método de integração para integrações desse tipo, que são usadas quando:

int cos^n (x) d x n > 2

Que é basicamente:

int cos^n (a x) d x = ((cos^(n - 1) (a x) sin (a x))/(n a)) + (n - 1)/(n) int cos^(n - 2) (a x) d x

Como pode ver, n pode ser maior que 2, mas integral com cos^2 ( x ) são mais fáceis.

Passo 3

Assim:

int cos^3 (theta) d theta = (cos^(3 - 1) (theta) sin (theta))/(3) + (2)/(3) int cos (x) d x

Sabendo que:

int cos (x) d x = s e n (x) d x + C

Assim podemos concluir que:

int cos^3 (theta) d theta = ( cos^2 (theta) sin (theta) ) (1)/(3) + (2)/(3) (s i n (x)) + C

(1 - sin^2 ( theta ) ) s i n ( theta ) ) (1)/(3) + (2)/(3) sin (theta) + C = (1)/(3) (sin (theta) - sin^3 (theta)) + (2)/(3) sin (theta)) + C

((1)/(3) + (2)/(3)) (sin (theta)) - (1)/(3) ( sin^3 (theta) ) + C =

sin (theta) - (1)/(3) (sin^3 (theta)) + C

Logo concluímos que:

int cos^3 (theta) d theta = sin (theta) - (1)/(3) (sin^3 (theta)) + C

Resposta

int cos^3 (theta) d theta = sin (theta) - (1)/(3) (sin^3 (theta)) + C