81)

Calcule:

b ) int cos^5 (theta) d theta

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

b ) int cos^5 (theta) d theta

Passo 2

Façamos:

cos^5 (x) = cos^4 (x) cos (x)

E:

cos^2 (x) = ( 1 - s e n^2 ( x ) )

Assim:

int cos^5 (theta) d theta = int (1 - sin^2 (theta))^2 cos (theta) d theta

Passo 3

Façamos:

u = sin (theta)

Logo:

(d u)/(d theta) = cos (theta)

Assim ficando:

int (1 - u^2)^2 d u = int (1 - 2 u^2 + u^4) d u

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, podemos fazer:

int 1 d u - 2 int u^2 + int u^4 d u

Integrando, temos:

u - (2)/(3) u^3 + (1)/(5) u^5 + C

Lembrando que:

u = sin (theta)

Concluímos, portanto que:

b ) int cos^5 (theta) d theta = sin (theta) - (2)/(3) sin^3 (theta) + sin^5 (theta) + C

Resposta

int cos^5 (theta) d theta = sin (theta) - (2)/(3) sin^3 (theta) + sin^5 (theta) + C