84c)

int s e n^7 (theta) d theta

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

int s e n^7 (theta) d theta

Passo 2

Sabemos que:

sen^2 (x) = ( 1 - cos^2 ( x ) )

Assim podemos fazer

int ( 1 - cos^2 ( theta ) )^2 ( 1 - cos^2 (theta) ) s e n (theta) d theta =

Passo 3

Façamos:

u = cos (theta)

Logo:

(d u)/(d theta) = - s e n (theta)

Assim ficando:

- int ( 1 - u^2 )^2 (1 - u^2) d u =

- int (1 - 2 u^2 + u^4) (1 - u^2) d u =

- int (1 - 2 u^2 + u^4 - u^2 + 2 u^4 - u^6) d u =

- int (1 - 3 u^2 + 3 u^4 - u^6) d u =

- (int 1 d u - 3 int u^2 d u + 3 int u^4 d u - int u^6 d u) =

- (u - u^3 + 3 (u^5)/(5) - (u^7)/(7)) + C

Lembrando que:

u = cos (theta)

Temos, portanto que:

int s e n^7 (theta) d theta = - (c o s ( theta ) - cos^3 ( theta ) + 3 (cos^5 ( theta ))/(5) - (cos^7 ( theta ))/(7)) + C

Resposta

int s e n^7 (theta) d theta = - (c o s ( theta ) - cos^3 ( theta ) + 3 (cos^5 ( theta ))/(5) - (cos^7 ( theta ))/(7)) + C