Entre todos os cilindros circulares retos com dada superfície lateral, provar que a menor esfera circunscrita tem um raio igual ao raio do cilindro multiplicado por .
Passo 1
Desenhando a vista lateral do cilindro inscrito na esfera, temos:
Assim, a área da superfície lateral do cilindro será dada por:
Além disso, podemos escrever o seguinte vinculo geométrico:
Passo 2
Como queremos a menor esfera circunscrita, precisamos que R seja mínimo. Para tal, iremos derivar a função R em relação a h (não importa qual escolhemos, h ou r, a resolução será análoga). Assim,
Derivando, em relação a h,
Igualando a zero,
Como todos são positivos,
Passo 3
Utilizando o vínculo geométrico encontrado no passo 1, temos: