Entre todos os cilindros circulares retos com dada superfície lateral, provar que a menor esfera circunscrita tem um raio igual ao raio do cilindro multiplicado por 2 .

Passo 1

Desenhando a vista lateral do cilindro inscrito na esfera, temos:

Assim, a área da superfície lateral do cilindro será dada por:

S L = 2 π r h → r = S L 2 π h

Além disso, podemos escrever o seguinte vinculo geométrico:

2 R 2 = h 2 + 2 r 2 → 2 R =   4 r 2 + h 2 → 2 R =   4 S L 2 π h 2 + h 2

Passo 2

Como queremos a menor esfera circunscrita, precisamos que R seja mínimo. Para tal, iremos derivar a função R em relação a h (não importa qual escolhemos, h ou r, a resolução será análoga). Assim,

R = 1 2   S L π h 2 + h 2

Derivando, em relação a h,

R ' = 1 2 . 1 . 2 1 . S L π h 2 + h 2 - 2 S L 2 π 2 h 3 + 2 h

Igualando a zero,

R ' = 1 2 1 . S L π h 2 - h 2 - S L 2 π 2 h 3 + h = 0 →   - S L 2 π 2 h 3 + h = 0 →     S L 2 π 2 h 3 = h →  

S L 2 = π 2 h 4

Como todos são positivos,

S L 2 = π 2 h 4 → S L = π h 2

Passo 3

Utilizando o vínculo geométrico encontrado no passo 1, temos:

S L = 2 π r h → π h 2 = 2 π r h → h = 2 r → h 2 = 4 r 2

2 R =   4 r 2 + h 2 → 2 R = 4 r 2 + 4 r 2  

2 R = 8 r 2 → R =   2 r

Resposta

R =   2 r