Se f ( x ) = 2 + x - x ² , calcular f ’ ( 0 ) , f ’ ( 1 // 2 ) , f ’ ( 1 ) , f ’ ( - 10 )

Passo 1

Faaala maninho(a)!! Aqui nesta questão de cálculo diferencial, que não é um bicho de sete cabeças, vamos lembrar que a derivada f ' ( x ) define-se pela igualdade

f ' ( x ) = underset(h -> o)(l i m) (f ( x + h ) - f ( x ))/(h) , isso se o limite existir. E o número f ' ( x ) chama-se também de coeficiente de variação de f com x .

Passo 2

Então aplicando teremos:

f ' ( x ) = underset(h -> o)(l i m) (f ( x + h ) - f ( x ))/(h)

f ' (x) = underset(h -> o)(l i m) ( (2 + x + h - x^2 - 2 x h - h^2 - 2 - x + x^2)/(h) )

Simplificando seus semelhantes e depois isolando h , tem-se:

f ' (x) = underset(h -> o)(l i m) ( (h - 2 x h - h^2)/(h) )

f ' (x) = underset(h -> o)(l i m) (h ( 1 - 2 x - h ))/(h) = - 2 x + 1

Prontinho, temos nossa f ' (x) = - 2 x + 1

Passo 3

Aplicando f ' (0) para f ' (x) = - 2 x + 1

f ' (x) = - 2 x + 1

f ' (0) = - 2 (0) + 1 = 1 .

Aplicando f ' (1 // 2) para f ' (x) = - 2 x + 1

f ' (x) = - 2 x + 1

f ' ((1)/(2)) = - 2 ((1)/(2)) + 1 = - 1 + 1 = 0

Aplicando f ' (1) para f ' (x) = - 2 x + 1

f ' (x) = - 2 x + 1

f ' (1) = - 2 (1) + 1 = - 2 + 1 = - 1

Aplicando f ' (- 10) para f ' (x) = - 2 x + 1

f ' (x) = - 2 x + 1

f ' (- 10) = - 2 (- 10) + 1 = 21

Resposta

f ' ( 0 ) = 1 , f ' ( 1 // 2 ) = 0 , f ' ( 1 ) = - 1 , f ' ( - 10 ) = 21