Determinar f'(x) se f(x) é a função que se indica:

10) f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x^4 + x^2 + 1)

Passo 1

O primeiro passo, é relembrar a regra das derivadas:

(ⅆ)/(ⅆ x) ((f)/(g)) = ((ⅆ)/(ⅆ x) (f) * g - f * (ⅆ)/(ⅆ x) (g))/(g^2)

Aplicando-a a essa equação, temos:

((ⅆ)/(ⅆ x) (x^2 + 3 x + 2) * (x^4 + x^2 + 1) - (x^2 + 3 x + 2) * (ⅆ)/(ⅆ x) (x^4 + x^2 + 1))/((x^4 + x^2 + 1)^2)

Passo 2

Relembrando as regras clássicas:

(ⅆ)/(ⅆ x) (a xx f) = a xx (ⅆ)/(ⅆ x) (f)

E,

(ⅆ)/(d x) (x^n) = n * x^(n - 1)

Calculamos a derivada: (ⅆ)/(ⅆ x) (x^2 + 3 x + 2) Lembrando que a derivada de uma variável elevada a 1, é sempre 1, e que a derivada de uma constante é sempre 0, e relembrando a regra da derivada da soma:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f + g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) + (ⅆ)/(ⅆ x) (g)

Temos:

(ⅆ)/(ⅆ x) (x^2 + 3 x + 2) = ( 2 x + 3 )

Calculando a derivada: (ⅆ)/(ⅆ x) (x^4 + x^2 + 1) Lembrando que a derivada de uma variável elevada a 1, é sempre 1, e que a derivada de uma constante é sempre 0, e relembrando a regra da derivada da soma:

(ⅆ)/(ⅆ x) (f + g) = (ⅆ)/(ⅆ x) (f) + (ⅆ)/(ⅆ x) (g)

Temos:

(ⅆ)/(ⅆ x) (x^4 + x^2 + 1) = 4 x^3 + 2 x )

Passo 3

Aplicando as derivadas encontradas no passo 2, na expressão temos:

((2 x + 3) (x^4 + x^2 + 1) - (x^2 + 3 x + 2) (4 x^3 + 2 x))/((x^4 + x^2 + 1)^2)

Simplificando:

(- 2 x^5 - 9 x^4 - 8 x^3 - 3 x^2 - 2 x + 3)/((x^4 + x^2 + 1)^2)

Resposta

A resposta da derivada acima, é:

(- 2 x^5 - 9 x^4 - 8 x^3 - 3 x^2 - 2 x + 3)/((x^4 + x^2 + 1)^2)